MP* 2014/2015

RÉSUMÉ DU COURS

ESPACES NORMÉS : SUITES ET TOPOLOGIE
I

Suites réelles et complexes

A

Borne supérieure

Définition
Si A ⊂ R est une partie non vide et majorée, l’ensemble de ses majorants possède un plus petit élément, qu’on appelle borne supérieure de A et notée sup( A). Cette borne supérieure M = sup( A) n’est pas en général un élément de A et est caractérisée par les deux propriétés
∀x∈A x M

∀ε>0 ∃x∈A

B

M−ε < x

M

Convergence d’une suite réelle

Définition
Une suite (un )n∈N de réels est convergente si et seulement s’il existe un réel l vérifiant

∀ ε > 0 ∃ Nε ∈ N ∀ n

Nε

|un − l |

ε

Le réel l est alors unique et on le note l = lim un . n→+∞ Théorèmes sur les limites
Toute suite convergente est bornée. Le produit d’une suite bornée par une suite qui converge vers 0 est convergente vers 0.

Si (un )n∈N et (vn )n∈N sont deux suites réelles convergentes et α ∈ R
• La suite (un + αvn )n∈N converge et lim un + αvn = lim un + α lim vn . n→+∞ n→+∞

n→+∞

• La suite (un vn )n∈N converge et lim un vn = ( lim un )( lim vn ) n→+∞ n→+∞

n→+∞

• Si la suite (un )n∈N a une limite non nulle, la suite de terme général wn = définie à partir d’un certain rang et converge vers

1 lim un

1 est un

n→+∞

Point clé : pour le produit un vn − ll = (un − l )vn + l (vn − l ).
Suites monotones
Si (un )n∈N est une suite réelle croissante, elle converge si et seulement si elle est majorée. On a alors lim un = sup {un | n ∈ N} n→+∞ .

1

C

Valeur d’adhérence d’une suite réelle

Suite extraite
La suite v = (vn )n∈N est extraite de la suite u = (un )n∈N si et seulement s’il existe une application ϕ : N → N strictement croissante telle que, pour tout entier n, on ait vn = u ϕ(n) .

Si u = (un )n∈N est une suite réelle convergente vers l, toute suite extraite de la suite u converge vers la même limite.
Valeur d’adhérence d’une suite
Si u = (un )n∈N est une suite réelle