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MPSI 1 Devoir en temps libre no 22

2005-2006

Espaces euclidiens
A rendre le lundi 24 avril

Problème 1: [Un exemple de structure euclidienne]1 On considère l’espace vectoriel E = Rn [X]. Pour P, Q ∈ E on pose :
n

P |Q =
i=0

P (i)Q(i).

Partie I 1. Montrer qu’on définit ainsi un produit scalaire sur E. On notera P euclidienne du polynôme P associée au produit scalaire précédent.2

la norme

2. Montrer qu’il existe une unique famille (L0 , ..., Ln ) de E telle que Li (j) = δi,j pour tout (i, j) ∈ {0, 1, ..., n}2 . Vérifier que la famille B = (L0 , ..., Ln ) est une base orthonormée de E. Que peut-on dire du degré du polynôme X n + (−1)n+1 n!L0 ? 3. Déterminer les coordonnées dans la base B d’un vecteur N de E orthogonal à l’hyperplan H de E formé des polynômes dedegré ≤ n − 1. Si P ∈ E, on note d(P, H) = inf Q∈H P − Q 2 la distance de P à l’hyperplan H. Montrer que d(X n , H) = n!d(L0 , H).
n

4. En remarquant que (1 + X)2n = (1 + X)n (1 + X)n , exprimer
p=0

n p

2

à l’aide d’un

seul coefficient binomial. 5. En déduire la valeur de d(X n , H). Partie II Un endomorphisme d’un espace euclidien E est autoadjoint si pour tous x, y ∈ E, f (x)|y = x|f(y) .
n

On note Π =
i=0

(X − i) et on fixe un polynôme M0 dans E. On considère l’application

φ de E dans E qui à tout P associe le reste de la division euclidienne de M0 P par Π. 1. Montrer que φ est un endomorphisme de E. 2. Exprimer φ(Li ) en fonction de Li . En déduire que φ est un endomorphisme autoadjoint de E. 3. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur M0 pour que φsoit un automorphisme orthogonal de E. Quelle est alors sa nature géométrique ?
1

d’après Centrale PSI Math 2 M 2002

1

4. On note B(0, 1) = {P ∈ E | P
P ∈B(0,1)

2

≤ 1}. Exprimer et
P ∈B(0,1)

min

φ(P )|P

max

φ(P )|P

à l’aide des M0 (i). Problème 2: Dans tout le problème2 , E désigne un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire. Le produit scalaire de deuxvecteurs u et v est noté u · v, la norme u . De plus, dans les parties I et II, E désigne un espace eudidien de dimension n (n ≥ 2).

Partie I I.A - Soient u et v deux vecteurs quelconques de E. On note Gram(u, v) la matrice définie par : u·u u·v et G(u, v) = det[ Gram(u, v) ] Gram(u, v) = v·u v·v I.A.1) I.A.2) I.A.3) Montrer que : G(u, v) ≥ 0. On note P un sous-espace vectoriel de dimension 2 de Econtenant u et v et B une base orthonormale de P . Vérifier que : G(u, v) = [ detB (u, v) ]2 À quelle condition a-t-on G(u, v) = 0 ?

I.B - Dans toute la suite de la partie I, n est égal à 3 et E est orienté. Si u, v, w sont trois vecteurs quelconques de E , on note Gram(u, v, w) la matrice définie par :   u·u u·v u·w Gram(u, v, w) =  v · u v · v v · w  et G(u, v, w) = det[ Gram(u, v, w) ]w·u w·v w·w I.B.l) I.B.2) I.C I.C.1) u, v, w sont trois vecteurs quelconques de E. Montrer qu’il existe t et n, vecteurs de E, vérifiant : w = t + n, u · n = v · n = 0, (u, v, t) liée. Montrer que, dans ces conditions, on a : G(u, v, w) = G(u, v, t) + G(u, v, n) Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes : a) Il existe un triplet (x, y, z) de réels différent de (0, 0, 0) tel que xu +yv + zw soit orthogonal à u, v et w. b) G(u, v, w) = 0 En déduire que : G(u, v, w) = 0 ⇐⇒ (u, v, w) liée Calculer G(u, v, w) si u, v, w sont trois vecteurs deux à deux orthogonaux. On suppose w orthogonal à u et v. Exprimer G(u, v, w) en fonction de G(u, v).

I.C.2)

I.C.3)
2

Centrale Math 2 PSI 1999

2

I.C.4) I.D I.D.1) I.D.2)

Montrer que G(u, v, w) est un réel positif.

u, v,w sont trois vecteurs de E et B une base orthonormale de E. Montrer que le réel | detB (u, v, w)| ne dépend pas du choix de B. Soit P un plan de E contenant u et v et n1 un vecteur unitaire orthogonal à P . On désigne par B1 une base orthonormée de P et on note B = B1 ∪ {n1 }. En utilisant ces deux bases, montrer que G(u, v, w) = [ detB (u, v, w) ]2

I.E - Pour u, v vecteurs quelconques de...
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