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Mme Morel-Sp´cialit´ math-cours similitudes e e

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Les similitudes
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1.1

Vocabulaire, rappels
Transformations du plan

D´finition 1.1.1. Une application f du plan dans lui mˆme est une tranformation si f est une bijection du plan dans e e lui mˆme, c’est-`-dire si pour tout point N du plan, il existe un et un seul point M du plan tel que f (M ) = N . e a Exemples : 1. Une translation,une homoth´tie, une rotation, une r´flexion sont des transformations du plan. e e 2. L’application identit´, not´e id, qui ` tout point M du plan associe le point M , est une transformation du plan. e e a 3. Dans le plan, on consid`re une droite D. Soit p la projection sur D (l’application qui ` tout point M du plan e a a associe le point m, intersection de D et de la perpendiculaire ` D passantpar M ). Alors p n’est pas une projection (faire un dessin). D´finition 1.1.2. Une isom´trie est une transformation du plan conservant les distances. e e Exemples : 1. Une rotation, une translation, une r´flexion sont des isom´tries. e e 2. Une homoth´tie de rapport diff´rent de ±1 n’est pas une isom´trie. e e e D´finition 1.1.3. On appelle invariants de la transformation f les points M du plan telsque f (M ) = M . e Exemples : 1. Le centre d’une rotation, d’une homoth´tie sont invariants. e 2. Une translation n’admet pas de points invariants.

1.2

Triangles semblables

D´finition 1.2.1. Deux triangles sont dits semblables si les angles non orient´s de l’un sont ´gaux aux angles non e e e orient´s de l’autre. e Si les angles orient´s sont conserv´s on dit alors que les triangles sontdirectement semblables. e e Si les angles orient´s sont au contraire transform´s en leurs oppos´s, on dit que les triangles sont indirectement e e e semblables. DESSIN ! Th´or`me 1.1. Deux triangles sont semblables si et seulement si les rapports des cˆt´s est constant, c’est-`-dire si les e e oe a cˆt´s de l’un ont des longueurs proportionnelles aux cˆt´s de l’autre. oe oe D´monstration : Voir coursde seconde (la d´monstration repose sur l’utilisation du th´or`me de Thal`s). e e e e e

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Les similitudes planes

Dans tout le chapitre, si f est une transformation du plan et M un point du plan, on notera M = f (M ) l’image de M par f .

Mme Morel-Sp´cialit´ math-cours similitudes e e

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2.1

D´finition e

D´finition 2.1.1. Soit f une transformation du plan. e f est unesimilitude plane si, et seulement si, f conserve le rapport des distances pour tout couple de points du plan et leurs images. C’est-`-dire si, et suelement si, quels que soient les points M , N , P et Q tels que M = N et P = Q, on a : a MN M N f (M )f (N ) = = PQ P Q f (P )F (Q) Exemple : Une isom´trie est une similitude plane. e Th´or`me 2.1. Propri´t´ caract´ristique e e e e e Soit f une transformationdu plan. f est une similitude plane si, et seulement si, il existe un r´el k > 0 tel que pour tout couple de points (M ; N ), on a : e f (M )f (N ) = M N = kM N D´finition 2.1.2. Le nombre r´el strictement positif k par lequel une similitude multiplie les distances est appel´ le e e e rapport de la similitude. D´monstration du th´or`me : e e e – Soit f une similitude plane et soient A et B deuxpoints distincts du plan. f ´tant une transformation du plan, les images de A et de B sont distinctes. Donc f (A) = A = f (B) = B . On pose e AB . alors k = AB k ´tant un rapoort de distances non nulles, k > 0. e On consid`re M et N deux points distincts du plan. Leurs images par f sont donc distincts : f (M ) = M = f (N ) = N . e AB AB M N AB f ´tant une similitude, on a : e = , donc = = k. Parcons´quent, M N = kM N . e M N MN AB MN Si M = N alors M = N pˆisque f est une similitude. Donc on a encore M N = 0 = kM N . u On a donc montr´ que pour toute similitude f du plan, il existe un r´el k > 0 tel que f multiplie les distances par k. e e – R´ciproquement, soit f une transformation du plan multipliant les distances par un r´el k > 0. e e Soient M , N , P et Q des points du plan tels que...
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