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|LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN |
|LA FONCTION LOGARITHME de BASE 10 7ième (5p) |

|I) Définition de la fonction logarithmenépérien: |

1) Introduction: La fonction: x [pic] est continue sur l’intervalle [pic]
donc toutes les fonctions: x [pic][pic] ( a > 0) sont des primitives
de la fonction: x [pic] sur [pic]

2) Définition: On appelle fonction logarithme népérien, la fonction notée: ln(x)qui est la primitive de la fonction: f(x) = [pic] sur [pic] , qui s’annule pour x = 1

Remarques: i) Par définition: Dln , le domaine de définition de la fonction logarithme népérien est:
ii) Pour tout réel x , strictement positif, lnx = [pic]

3) Interprétation graphique:

a) Construire le graphe de la fonction: f(x)= [pic] sur[pic]

b) k est un réel supérieur à 1 , construire la droite d’équation x = k et x = 1
Interpréter graphiquement le réel lnk

c)i) En utilisant une calculatrice, vérifier que: ln1 = et ln3 > 1
ii) Intuitivement, on déduit de ce qui précède, qu’il existe une unique valeur de k (k > 1 et k < 3),
pour laquelle: A(k) = ln k = 1En utilisant une calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10-3 de cette valeur particulière
de k , que l’on note: e , donc: < e <

d) k est un réel strictement positif et inférieur à 1 , construire la droite d’équation x = k
Interpréter graphiquement le réel lnk

4) Exercice: Calculer lesintégrales: i) [pic] ii) [pic]

|II) Etude de la fonction logarithme népérien : | |

|1) Dresser le tableau de variation de | x | || la fonction logarithme népérien : |ln’x = | |
| | | |
| |lnx| |

2) Propriété algébrique fondamentale:

a) a est un réel strictement positif fixé. On considère la fonction: g(x) = ln(a.x)
Dg = ; g est dérivable sur: et g’(x) =
Donc g et ln sont deux de la fonction: x[pic] sur
Donc
En particulier pour x = 1 on a
Donc pour tous réels strictement positifs a et b : ln(a.b) =

« Vérifier » avec une calculatrice que: ln(3[pic]7) =

b) Conséquences: Pour tous réels strictement positifs a et b

i) ln(b.[pic]) = ln [pic] lnb + ln [pic] =[pic] ln [pic] =
*) « Vérifier » avec une calculatrice que: ln(0,5) =
*) Application: ln[pic] =

ii) ln [pic] = ln (a. ) = =
« Vérifier » avec une calculatrice que: ln([pic]) =

iii) ln(a0) = = 0.lna
ln(a1) = = 1.lna...
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