Essais montaigne

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CORRIGES DES EXERCICES
H
Montrer que la fonction f : x !
y ' = − y2 . La fonction f : x !
2 1 = −   = − [ f ( x)] . 2 x  x f est donc bien une solution particulière de l’équation différentielle y ' = − y 2 .

1 est une solution particulière de l’équation différentielle : x
1
2

1 est dérivable sur R* et ∀x∈R* x

f '( x) = −

I

Sauriez-vous trouver une solution particulière(non forcément dérivable sur R) de l’équation 1 ? y' = 2y 1 1 . La fonction f : x ! x est dérivable sur ]0 ; +∞[ et ∀x∈ ]0; + ∞ [ f '( x) = = 2 x 2 f ( x) 1 . f est donc bien une solution particulière de l’équation différentielle y ' = 2y
Déterminer les fonctions, dérivables sur R, solutions de l’équation différentielle : y ' + 2y = 0. Même question avec : 4y + 3y ' = 0. y '+ 2 y = 0 ⇔ y ' = −2 y. Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions : avec C∈R. 4 4 y + 3 y ' = 0 ⇔ y ' = − y . Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions : 3 x ! Ce−2 x ,

J

x!

4 − x Ce 3

,

avec C∈R.

1)

Montrer qu’il existe exactement une fonction f, dérivable sur R, solution de l’équation 2y' = 5y et telle que f '(0) = 1. 5 2 y ' = 5 y ⇔ y ' = y . Lessolutions de cette équation différentielle sont les fonctions : 2 fk : x ! f k' (0) = 1 ⇔
5 x ke 2

,

avec k∈R.

5 5 2 f k (0) = 1 ⇔ ke0 = 1 ⇔ k = . La fonction f, dérivable sur R, solution de 2 2 5
5

2 x l’équation 2y' = 5y et telle que f '(0) = 1, est donc la fonction x ! e 2 . 5

1!

Déterminer les fonctions, dérivables sur R, solutions de l’équation différentielle : y ' − 5y +1 = 0. y '− 5 y + 1 = 0 ⇔ y ' = 5 y − 1 . Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions : x ! Ce5 x −

−1 1 = Ce5 x + , 5 5

avec C∈R.

1@

Déterminer la solution de l’équation différentielle 2y' − 3y − 7 = 0 qui vérifie y(0) = 5. 3 7 2 y '− 3 y − 7 = 0 ⇔ y ' = y + . Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions : 2 2 7 3 3 x x 2 − 2 = ke 2 − 7 , f k: x ! ke avec k∈R. 3 3 2

EQUATIONS DIFFERENTIELLES

1

P.G. 2006/2007

CORRIGES DES EXERCICES
7 22 =5 ⇔ k = . 3 3 La fonction f, solution de l’équation 2 y '− 3 y − 7 = 0 et telle que f (0) = 5, est donc la fonction : f k (0) = 5 ⇔ ke0 − 22 x 7 x ! e2 − . 3 3
3

1#

Montrer que la fonction x ! A cos 3x + Bsin 3x est solution de l’équation y" + 9y = 0, quelles que soient lesvaleurs des réels A et B. Posons f ( x) = A cos 3x + Bsin 3x . On a, pour tout réel x : f '( x) = −3A sin 3 x + 3Bcos3 x et
f "( x) = −9A cos3 x − 9Bsin 3 x = −9 ( A cos3 x + Bsin 3x ) = −9 f ( x) donc qui prouve que f est solution de l’équation y "+ 9 y = 0 . f "( x) + 9 f ( x) = 0 , ce

1$

Montrer que la fonction x ! Ae3 x + Be−3 x est solution de l’équation y" − 9y = 0, quelles que soient lesvaleurs des réels A et B. Posons f ( x) = Ae3 x + Be−3 x . On a, pour tout réel x : f '( x) = 3Ae3 x − 3Be−3 x et

f "( x) = 9Ae3 x + 9Be −3 x = 9 f ( x) donc f "( x) − 9 f ( x) = 0 , ce qui prouve que f est solution de l’équation y "− 9 y = 0 .

1%

Montrer que si deux fonctions f et g sont solutions particulières de l’équation y" = 7y, alors il en est de même pour la fonction k1 f + k2 g,quels que soient les réels k1 et k2. ( k1 f + k2 g ) " = k1 f "+ k2 g " = k1 × 7 f + k2 × 7 g = 7 ( k1 f + k2 g ) donc la fonction k1 f + k2 g est solution de l’équation y" = 7y. On considère l’équation différentielle (1) : y' + y = 2xe − x, dans laquelle x est une variable réelle quelconque, y une fonction inconnue de la variable x (qu’il s’agit précisément de déterminer).

1*

1. Montrer quey = e − x est une solution particulière de l’équation sans second membre (c'est-àdire de l’équation y' + y = 0).
La fonction x ! −x est dérivable sur R. Peu importe dans quel ensemble elle prend ses valeurs puisque la fonction x ! e x est dérivable sur R. La fonction u : x ! e − x est donc dérivable sur R comme composée de fonctions dérivables. ∀x∈R u '( x) = e − x × ( −1) = −e − x . Par suite,...
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