Essentiel maths crpe

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Numération
La décomposition en facteurs premiers permet de trouver tous les diviseurs d'un nombre entier.
Système de numérotation positionnelle de base A : (X)A=XA=XA
Pour savoir si un nombre n est premier, il suffit d'essayer de le diviser par tous les nombres premiers inférieurs à n.
Calcul du PGCD : décomposition en facteurs premiers (produit des facteurs communs élevés à la plus faiblepuissance), utilisation de la propriété PGCDp;q=PGCDq;p-q, Algorithme d'Euclide (division euclidienne successive en divisant à chaque fois par le reste de la division).
Utilisation du PGCD : déterminer l'ensemble des diviseurs communs à 2 nombres, rendre une fraction irréductible, vérifier que 2 nombres sont premiers entre eux (PGCD = 1).
PPCM : décomposition en facteurs premiers (produit desfacteurs communs élevés à la plus forte puissance), p×q=PGCDp;q×PPCMp;q.
Numération entière : pédagogie
La quantité est une propriété de collections pouvant être mis en correspondance terme à terme. Lorsque les nombres sont utilisés pour représenter des quantités, on parle d'aspect cardinal du nombre (même cardinal → équipotentes).
Un enfant est dit "conservant pour les quantités" s'il peutdistinguer les transformations modifiant le cardinal d'une collection.
Une collection témoin est une collection matérielle pouvant servir de référence pour représenter un nombre ou une quantité. Une configuration permet de faciliter la représentation de la quantité.
Lorsque les nombres sont utilisés pour représenter un ordre, on parle d'aspect ordinal du nombre. le rang indique la position dans unordre (→ utilisation de la bande numérique).
Le dénombrement est l'activité qui consiste à déterminer le nombre d'objets d'une collection. Procédures : vision globale (avec les très petites quantités), perception visuelle (collection organisée), comptage un à un (pointage + comptine numérique récitée).
La comparaison des quantités et des nombres peut se faire par : des procédures non numériques(correspondre terme à terme de collections), numériques (s'appuyer sur la position dans la suite ordonnée des nombres), ou la décomposition additive des nombres (8 > 5 car 8 = 5+3 → calcul réfléchi).
Difficultés de l'enseignement de la numération au cycle 2 : discordance entre la numération chiffrée (positionnel) et la numération verbale (logique additive jusqu'à 69, hybride ensuite), difficultésspécifiques de la numération verbale (nombreuses irrégularités, pas de groupements par 10).
Difficultés de l'enseignement de la numération au cycle 3 : impossible de représenter physiquement les quantités (→ tableau de numération), passage en base 1000 dans la numération verbale à partir de 10000.
Opérations
L'addition (sur N, Z, D, Q, R) une loi de composition interne (∀ a et b ϵ E, a+b ϵ E),est commutative (a+b=b+a), associative (a+b+c=a+b+c), dispose d'un élément neutre : 0 (a+0=0+a=a), est compatible avec la relation d'ordre (si cϵN, a≤b→a+c≤b+c), chaque élément dispose d'un symétrique (a+as=as+a=0, pas sur N).
La multiplication (sur N, Z, D, Q, R) est une loi de composition interne, est commutative, associative, dispose d'une élément neutre (1), est distributive sur l'addition etla soustraction (a×b+c=a×b+b×c), est compatible avec la relation d'ordre (sur N, Z+, D+, Q+, R+ uniquement), 0 a un statut particulier (0×a=0), a des éléments symétriques (1 dans Z, tous les éléments non nuls dans Q et R).
La soustraction (sur N, Z, D, Q, R) n'est ni commutative, ni associative, n'a pas d'élément neutre, est compatible avec la relation d'ordre, possède la propriété des différenceségales (a-b=a+c-b+c), est une loi de composition interne (sauf sur N).
La division euclidienne ou division (sur N ou Z*, D*, Q*, R*) n'est pas une loi de composition interne, n'est ni commutative, ni associative, n'a pas d'élément neutre, est compatible avec la relation d'ordre (que pour Q+* et R+*). Pour prouver le résultat de la division euclidienne de D par d, il faut vérifier que D=d×q+r...
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