Terminale S

Devoir de Mathématiques n° 2

20/11/2009

EXERCICE 1 ( 6,5 Pts)

Partie A On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +  [par : f (t) = (20t + 10) 1. Etudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +  [. 2. Etudier la limite de f en + . 1 NB : on pourra poser T = – t , et on rappelle que : lim t e t = 0. 2 t - 3. Dresser le tableau de variation de f. Partie B On note y(t) la valeur, en degrés Celsius ,de la température d’une réaction chimique à l’instant t, t étant exprimé en heures. La valeur initiale, à l’instant t = 0 est y(0) = 10. On admet que la fonction qui, à tout réel t appartenant à l’intervalle [0 ; +  [, associe y(t) est solution de l’équation différentielle :

(E1) : y ’ +

1 y = 20 2

.

1. Vérifier que la fonction f étudiée dans la partie A est solution de l’équation différentielle ( E 1 ). 2. On note g une solution quelconque de l’équation différentielle ( E1). a. Montrer que g solution de ( E1) équivaut à g – f solution de l’équation différentielle ( E2) : 1 ( E2) : y ’+ y = 0. 2 b. Résoudre l’équation différentielle ( E2) . c. En déduire les solutions de l’équation différentielle (E1), puis la solution vérifiant la condition initiale donnée. 3. Montrer qu’après 2 heures de réaction chimique, la température est inférieure à 18,5 ° Celsius.
EXERCICE 2 ( 3,5 Pts)

On considère le polynôme : P (z) = z4 – 19 z2 + 52z – 40 où z est un nombre complexe. 1. Déterminez deux réels a et b tels que : P (z) = (z2 + az + b) ( z2 + 4z + 2a). 2. Résolvez, dans C, l’équation P (z) = 0. I
EXERCICE 3 ( 5 Pts)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O; u ; v ) À tout nombre complexe z, z  – 2i , on associe le nombre complexe Z = z–1+i . z + 2i

 

 

On pose z = x + iy, x et y sont deux réels. 1. Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de Z en fonction de x et y. x ² + y ² – x + 3y + 2 On vérifiera que Re (Z) = . x ² + (y + 2) ² 2. En déduire la nature de :