Algèbre Anneaux - Corps
Denis Vekemans
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Exercice 1

Soit (A, +, 0A ) un groupe abélien.

On munit l’ensemble A d’une autre loi binaire ·, en posant a · b = 0A , pour tout a, b ∈ A. Montrer que (A, +, ·) est un anneau commutatif. Exercice 2 Soit 2Z = {2z tels que z ∈ Z}. Montrer que (2Z, +, ·) est un anneau commutatif. Exercice 3 x + y − 2 et x (Mars 2004) Soit (R, +, ·) l’anneau des nombres réels. et sur R de la manière suivante : ∀(x, y) ∈ R2 , on pose x y = y = x · y − 2x − 2y + 6. ) est un groupe abélien. , ) est un anneau commutatif unitaire.

On définit deux nouvelles lois 1. Montrer que (R, 2. Montrer que (R,

Exercice 4 On pose

On considère le produit cartésien Z × Z = {(a, b) tels que a ∈ Z, b ∈ Z}. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

et (a, b) ◦ (c, d) = (a · c, a · d + b · c) pour tout (a, b), (c, d) ∈ Z × Z. Montrer que (Z × Z, +, ◦) est un anneau commutatif. L’anneau (Z × Z, +, ◦) est-il unitaire ? Exercice 5 Soit (A, +, ·) un anneau commutatif.

Notons 0 et 1 respectivement le neutre pour + et pour ·. Soit P une partie de A telle que
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Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais

cedex ; France

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L1 Maths - Info 1. P est stable pour + dans A ; 2. P ∩ (−P ) = {0} et P ∪ (−P ) = A.

Algèbre

2008

Montrer que la relation ≤ sur A définie par x ≤ y si et seulement si y − x ∈ P est un ordre total sur A. Exercice 6 Soit (A, +, ·) un anneau idempotent, c’est-à-dire tel que, pour tout x ∈ A, x · x = x.

Notons 0 et 1 respectivement le neutre pour + et pour ·. 1. Montrer que, pour tout x ∈ A, x + x = 0. 2. En déduire que A est commutatif. 3. Montrer que la relation binaire définie sur A par x R y ⇐⇒ x · y = x, est une relation d’ordre sur A. 4. Si A est (A, +, ·) un anneau idempotent intègre, montrer que A est soit trivial, soit isomorphe à (Z/2Z, +, ·).

Exercice 7

Soit (A, +, ·) un anneau unitaire. b = a + b + 1 et a b = a · b + a + b.

Notons