Terminale

scientifique Vendredi 28 septembre 2012

Devoir surveillé nO1 - 2 heures

Exercice 1 (7 points) Soit (Un )n~1 et par: u]

(vn
VI

t~1 suites réelles définies deux
= 1 et pour tout n
E

Exercice 2 On considère la suite numérique u définie par ua = 1 et pour tout entier naturel n : 1 u,,+]=3u" +n-1 Soit v la suite définie pour tout entier naturel n par:

= 12

et

N* :

U,,+[= 1.) Pour tout

un+2v" 3 N*, on pose: w" = v"
-U".

nE

a.) Montrer que

(w,,)

est une suite géométrique

dont on précisera le premier tenne et la raison. b.) Exprimer Wn en fonction de n. c.) Démontrer que la suite détenniner sa limite. 2.) Démontrer que la suite

6 n + 15 1.) Montrer que v est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier tenne. 2.) Calculer v" en fonction de n. v" = 4 u" -

(wn) (u,,)
E

est convergente et est décroissante et

que la suite ( v,,) est croissante. 3.) Démontrer que pour tout n En déduire que pour tout n 4.) Pour tout nE E

N' , on a:

U" ~

v" .
VI .

N' : u[ ~ u" ~ v" ~

En déduire que pour tout entier naturel n : 19 1 6n-15 u =-x-+--" 4 3" 4 3.) Montrer que la suite u peut s'écrire sous la forme u=t+W où t est une suite géométrique et W une suite arithmétique. 4.) Calculer, pour tout entier naturel n :

N*, on pose: tn

= 3u" +8v"

a.) Démontrer que

(t,,)

est une suite constante et

" T" = L ti = ta +t[ +t2 +·"+t,, i=a donner la valeur de la constante. b.) En déduire les expressions de u" et v" en fonction de n. c.) Montrer que même limite.

et n w" = L
En déduire:

(u,,)

et

(v,,)

i=a

wi n = wa +W] +w2
.

+···+w"

convergent vers la

U"

= LUi = ua +u] i=a +U2 +···U"

Exercice 3 1.) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul : n n2(n+l)2 Lp3 + 23 + 33 + ... + n3

~

=e

=--'--------'.4

2.) On considère la suite (tn) définie pour tout entier naturel n par : ta = 0 et tn+]= tn + ( n+l