4 - Etude de fonction

Pour étudier une fonction :
1. On calcule la dérivée de la fonction.
2. On étudie le signe de la dérivée.
3. On calcule les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition ainsi que les valeurs de la fonction pour les valeurs de x où f' change de signe. Enfin on est en mesure de dessiner son tableau de variations.
Exemples :
*** Etudier les variations de .

1. On calcule la dérivée. Ici .

2. On étudie le signe de la dérivée : , donc f' est positive lorsque .

3. On calcule les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. Ici, .

Il y a une forme indéterminée pour le calcul de la limite en . On factorise donc par le terme de plus haut degré :

On calcule f(1) : .
On peut alors dessiner le tableau de variations de la façon suivante :

*** Etudier les variations de

Pour le calcul de la dérivée, posons et . Alors et . Donc :

Ici l'étude du signe de la dérivée est assez rapide car le numérateur est toujours positif : et 5 > 0 donc la parabole est toujours au dessus de l'axe des abscisses, et le dénominateur aussi (un carré est toujours positif, on voit ici l'intérêt de ne pas développer le dénominateur - chapitre précédent - ). f n'est pas définie en x = -1 et en x = 1 donc .Tu peux faire les calculs de limites, pour les limites en moins l'infini et en plus l'infini il faut factoriser en haut et en bas par x carré et simplifier, et pour les limites en , , , et le résultat est toujours égal à l'infini, en + ou en - suivant le signe de .
Le tableau est le suivant :

Equation de la tangente :
Souvent, dans les exercices, on te demandera de donner l'équation de la tangente à la fonction f en un point x = a, c'est à dire de donner l'équation de la droite rouge, qui touche la courbe de f au point d'abscisse x = a.

La droite rouge est une droite, son équation s'écrit donc . D'après le cours sur les dérivées, le coefficient directeur de la tangente en un point est égal à la dérivée de f en