Etude des extremums locaux des fonctions numériques de plusieurs variables réelles

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COURS DE CALCUL DIFFERENTIEL

ANNEXE 1 : Etude des extremums locaux des fonctions numériques de plusieurs variables réelles.

Théorème :Soient U un ouvert de (p ,[pic]: U[pic]( de classe C², [pic][pic]U un point critique de[pic].
Notons Q la forme quadratique définie sur (p par :[pic]h = (h1,…,hp) [pic](p , Q(h) = [pic]hi.hj.[pic].

Si Q est positive et non dégénérée, alors [pic] admet un minimum local strict en [pic]
SiQ est négative et non dégénérée, alors [pic] admet un maximum local strict en [pic]
Si Q n’est ni positive ni négative, alors [pic] n’admet pasd’extremum local en [pic]
Si Q est positive dégénérée, ou négative dégénérée, les hypothèses ne permettent pas de conclure quant à l’existence d’unextremum local de[pic]en [pic]

Définition ( matrice hessienne) : Soient U un ouvert de (p, [pic]: U[pic]( de classe C² sur U, [pic]U, Q la formequadratique :

Q : (h1,…,hp)[pic] [pic]hi.hj.[pic].

La matrice H de Q dans la base canonique de (p, H=[pic] est appeléela hessienne de [pic]en [pic]

La matrice H est symétrique réelle, par le théorème de Schwarz, donc H est diagonalisable dans Mn((). En notantSp((H) le spectre (réel) de H, on a :

Q dégénérée [pic]dét(H) = 0
Q positive [pic] Sp((H) [pic] (+
Q négative[pic] Sp((H) [pic] (-
Q positive et non dégénérée [pic] Sp((H) [pic] (+*
Q négative et non dégénérée [pic] Sp((H) [pic] (-*
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