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iI

CROISSANCE,
EXPONENTIELLES
ETLOGARITHMES

6-1.Salaire et inflation paran. Unindividu voitsonsalaire augmenter de5 o/o l'évolution a)Déterminer dusalaire surcinqans.
Déterminer
auboutdecombien lesalaire d'années auracrûde50%. b)lly a uneinflation annuelle de2 % : puisaubout 1)déterminer
I'accroissement
dusalaire entermes réels suruneannée, dectnoans:
2) déterminer auboutdecombien d'années le salaire auracrûde50% entermes réels. Corrigé.
a)0ndonne
unesolution littérale :
- correspondant
Onnotea letauxd'augmentation annuelle dusalaire multià unlacteur p l i c a t i f+
: (a1) .
AuboutdeN années, par: compte lenudelavaleur a = 5 %,lesalaire estmultiplié ( 1+ a ) N = 1 , 0 5 N .

Enparticulier, par encinqans,lesalaire estmultiplié =
1,0551,276,
soituneaugmentation de27,6%. 0n cherche maintenant encombien lesalaire pur quelle d'années estdoublé, c'est-à-dire valeurdeN:
1,05N=2.
Larésolution nécessite decette équation l'emploi delogarithmes. Lorsque l'inconnue apparaît il estavisédepasser pourla enexposant, enlogarithmes prend transformer (parexemple enfacteur.0n doncle logarithme népérien) desdeux
= 2)etonobtient membres (1,05N del'équation :
= N . In(1,05)
= In(2).
In(1,05N)
C'esluneéquation dupremier degré enN,quel'onrésout directement surunecalculatrice disposant deslogarithmes :
_
_ 0 , 6 9 3= r In(2) =
_ ir/+, ' a '
'N' = l n ( 1 , 0 5 )o r o *
Laréponse
estdonc14,2ans,mais siI'augmentation n'alieuqu'une loisparan,lesalaire n'aura réellement qu'après ledouble dépassé dusalaire inilial
15ans.
L'emploi du logarithme n'aurait naturellement décimal rienchangé
: leslogarithmes décimaux quidonneN resterait et népériens sonleneffetproportionnels et le rapport le même.
b) Cependant, parle taux surla mêmepériode, il y a unehausse desprix,mesurée d inflation b - correspondant
: (1+ b). à unindice
Pourmesurer
l'évolution réels, du salaire entermes c'est-à-dire entermedepouvoir d'achat, ondoitdonccorriger l'évolution