Universit´ e Paris Dauphine
DEMI2E 2e ann´ ee Alg` ebre lin´ eaire 3
Examen du 23 janvier 2013
Le sujet comporte 2 pages. L’´epreuve dure 2 heures. Les documents, calculatrices et t´el´ephones portables sont interdits.
Exercice 1
Pour x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 , on pose q(x) = x21 − 8x22 + 8x23 − 2x1 x2 − 6x2 x3 .
1. Montrer que q est une forme quadratique sur R3 .
2. D´eterminer le rang et la signature de la forme q par la m´ethode de Gauss.
Exercice 2
1. D´eterminer les valeurs propres et vecteurs propres de la matrice


1 0 1
A= 0 1 0 
1 0 2

2. En d´eduire une diagonalisation de la matrice A dans une base orthonorm´ee.
Exercice 3

Soit E un espace euclidien de dimension n muni du produit scalaire not´e < ·, · > et f un endomorphisme non nul de E qu’on suppose antisym´etrique, c’est-`a-dire tel que
< f (x), y >= − < x, f (y) >

pour tous x, y ∈ E.

1. Si F est un sous-espace vectoriel de E on note F ⊥ son orthogonal, d´efini par
F ⊥ = {y ∈ E, < x, y >= 0 ∀x ∈ F }.
1.a. Montrer que Im(f ) = (Ker(f ))⊥ .
1.b. En d´eduire que E = Im(f ) ⊕ Ker(f ).
1.c. Montrer que Ker(f ) = Ker(f ◦ f ).
2.a. Montrer que < f (x), x >= 0 pour tout x ∈ E.
2.b. En d´eduire que f admet au plus 0 comme valeur propre.
3. Montrer que la matrice A = (Aij ) de f dans une base orthonorm´ee de E est antisym´etrique, c’est-`a-dire telle que
Aij = −Aji pour tous i, j = 1, · · · , n.
4.a. Montrer que f ◦ f est un endomorphisme de E qui est sym´etrique, c’est-`a-dire tel que
< f ◦ f (x), y > = < x, f ◦ f (y) >

pour tous x, y ∈ E.

4.b. Montrer que toute valeur propre de f ◦ f est un r´eel ≤ 0.
4.c. Montrer que f ◦ f admet au moins une valeur propre non nulle.
4.d. Montrer que la famille {x, f (x)} est libre pour tout vecteur propre x de f ◦ f associ´e `a une valeur propre non nulle.
.../...

Exercice 4
Soit Rn muni du produit scalaire canonique < ·, · > et de la norme euclidienne f un endomorphisme de Rn tel que f (x) ≤ x

·

associ´ee, et soit

pour tout x ∈ Rn .

1. Montrer qu’il existe un