Examen

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D´partement LSO - DUGEAD 2 e

UE 44 - Stats II Ann´e 2009-2010 e

Examen. 01-02-10
Dur´e : 2h e • Calculatrices non-programmables autoris´es. T´l´phones portables interdits e ee • Vous trouverez ` la fin de l’´nonc´ une s´rie de valeurs num´riques utiles pour faire les applicaa e e e e tions num´riques . Toutes les applications num´riques seront faites avec 3 chiffres apr`s la virgule. e e e •Les trois parties sont compl`tement ind´pendantes. e e • Barˆme indicatif : e

Dans ce probl`me, on s’int´resse au trafic sur la ligne de RER A. Lors d’un conflit social, la RATP e e annonce en moyenne 2 trains par heure. Une association d’usagers du RER A pense que la r´alit´ e e est significativement diff´rente de cette annonce et d´cide de v´rifier cette affirmation dans deux e e e gares diff´rentespar deux m´thodes diff´rentes. Pour cela, dans la gare de Nanterre-Universit´, elle e e e e rel`ve pendant 81 heures le nombre de trains passant chaque heure. En gare de Fontenay-sous-Bois e un membre de l’association d´cide de noter les temps d’attente entre 2 trains cons´cutifs (pour 81 e e trains).

Partie 1 : Nombres de trains par heure en gare de Nanterre-Universit´ e
Dans cette partie, ons’int´resse au nombre de trains par heure circulant sur cette ligne. e Soit Xi le nombre de trains passant pendant la i-`me heure dans la gare Nanterre-Universit´ e e (i = 1 . . . n). On suppose que les Xi sont ind´pendantes et identiquement distribu´es de loi de e e Poisson de param`tre λ i.e. ∀x ∈ N, e P (Xi = x) = e−λ λx x!

On rappelle que si X ∼ P(λ) alors E[X] = λ et V [X] = λ. On note x1, . . . , xn les observations obtenues par l’association d’usagers. 1. Montrer que la vraisemblance des observations x1 , . . . , xn vaut : L(x1 , . . . , xn ; λ) = e−nλ λ
Pn
i=1

2. En d´duire que l’estimateur du maximum de vraisemblance de λ not´ Wn est X n e e

xi ￿

1
n i=1 xi !

3. Calculer le biais et la variance de cet estimateur. 4. Montrer la convergence en probabilit´ de Wnvers λ. En d´duire que e e probabilit´ vers 1. e

￿

λ converge en Wn

5. (a) Cours : Rappeler le th´or`me Central Limit avec ses hypoth`ses dans le cas g´n´ral. e e e e e √ Wn − λ (b) En d´duire que n √ e converge en loi vers une loi normale centr´e r´duite e e λ √ Wn − λ (c) On pose An = n √ . En utilisant la d´composition suivante e Wn ￿ √ Wn − λ λ An = n √ , Wn λ montrer que An convergeen loi vers une loi normale centr´e r´duite. e e (d) En utilisant la statistique An , d´duire un intervalle de confiance asymptotique pour λ ` e a 95% 6. Les observations x1 , . . . , xn sont telles que n = 81
81 ￿ i=1

xi = 160

81 ￿ i=1

x2 = 464 i

Donner une estimation ponctuelle de λ ainsi qu’une fouchette d’estimation. Peut-on conclure que –comme avanc´ par l’association d’usagers–la r´alit´ est significativement diff´rente de e e e e l’annonce de la RATP ?

Partie 2 : Temps d’attente entre 2 trains en gare de Fontenay-sous-Bois
Dans cette partie, on s’int´resse au temps d’attente entre 2 trains. Soit Yi le i-`me temps d’attente. e e On suppose que les Yi sont ind´pendantes et identiquement distribu´es de loi exponentielle de e e param`tre a. On rappelle que sisi Y ∼ E(a)alors sa densit´ vaut : fY (x) = ae−ax si x > 0, 0 sinon. e e 2. On note y1 , . . . , yn les temps d’attente mesur´s en heures. Montrer que la log-vraisemblance e des observations vaut : n ￿ ￿(y1 , . . . , yn ; a) = n ln(a) − a yi
i=1

1. Cours : Donner la fonction de r´partition de Y , son esp´rance et sa variance (sans d´monstration). e e e

3. En d´duire l’estimateur du maximum devraisemblance de a not´ Tn . e e 5. Montrer la convergence en probabilit´ de Tn vers a. e

4. On note Mn l’estimateur des moments de a. Comparer cet estimateur ` Tn a 6. On cherche ` un construire un intervalle de confiance asymptotique pour a. a √ Yn − 1 (a) Montrer que n 1 a converge en loi vers une loi normale centr´e r´duite. e e
a

2

(b) En d´duire que e 7. On suppose que ici :



(c)...
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