Exemple d’exercice

Application - Projectile dans un champ de pesanteur uniforme

Un projectile est lancé à la date t0 = 0 avec une vitesse initiale v 0
  faisant un angle  avec l’horizontale. Le repère d'étude (O, e1 , e2 , 

e3 ) est tel que l'origine O coïncide avec la position du centre g
  d'inertie G du solide à la date t0. Le plan (O, e1 , e2 ) contient le

vecteur v 0 . Les frottements peuvent être négligés.

y

 v0  e2  e3  o  e1 x

z



Le champ de pesanteur g est équivalent à une accélération a :

 0  vx 
   

 - g   v y 
 0  v 
   z 

On peut résoudre analytiquement ces trois équations différentielles et obtenir les équations paramétriques de la vitesse :

vx  A v y  g.t  B vz  C
A, B et C sont des constantes qui dépendent des conditions initiales (à la date t0 = 0) :

v x 0  v 0 . cos  v y 0  v 0 . sin vz 0  0



A  v 0 . cos 
B  v 0 . sin
C0



v x  v 0 . cos  v y  g.t  v 0 . sin vz  0

On peut résoudre analytiquement ces trois nouvelles équations différentielles et obtenir les équations paramétriques du mouvement : x  v 0 . cos ( ).t  A'
1
y   g.t 2  v 0 . sin ( ).t  B'
2
z  C'

A’, B’ et C’ sont des constantes qui dépendent des conditions initiales. A la date t 0 = 0, les coordonnées sont nulles : x  v 0 . cos ( ).t
1
 y   g.t 2  v 0 . sin ( ).t
2
z0
 
A tout instant la coordonnée z est nulle : le mouvement s'effectue dans le plan (O, e1 , e2 ). x0  0  v 0 . cos ( ).t 0  A'
1 2 y 0  0   g.t 0  v 0 . sin ( ).t 0  B'
2
z0  0  C '

1

Exemple d’exercice

x  v 0 . cos ( ).t

Equation de la trajectoire :



t

x v 0 . cos 

 v . sin 
1
x2
1
g
2
y g 2
 0
2
 v . cos   x  - 2 v 2 . cos2  x  tan ( ).x

2 v 0 . cos   0
0

Influence de la valeur de la vitesse initiale v0 sur la trajectoire du projectile y v0 1 < v0