Exercice 2

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  • Publié le : 18 mai 2011
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Exercice 2 :
Soit A et B deux points du plan tels que AB=5
1) Soit G le barycentre despoints pondérés (A;2) et (B;3), ==>2*GA+3*GB=0 montrer que pour tout point M du plan :2MA²+3MB²= 5MG²+2GA²+3GB²
MA=MG+GA==> MA^2=MG^2+GA^2+2*MG.GA
MB=MG+GB==>MB^2=MG^2+GB^2+2*MG.GB
2*MA^2+3*MB^2=2*MG^2+2*GA^2+4*MG.GA+3*MG^2+3*GB^2+6*MG.GB2*MA^2+3*MB^2=5*MG^2+2*GA^2+3*GB^2+2*MG*(2*GA+3*GB)=5*MG^2+2*GA^2+3*GB^2
2) a. exprimer les vecteur GA et GBen fonction u vecteur AB
b en deduire les distances GA et GB
2*GA+3*GB=0 ==>2*GA+3*(GA+AB)=0 ==> 5*GA+3*AB=0 ==> GA=-3*AB/5=-3
2*GA+3*GB=0 ==> 2*GB+2*BA+3*GB=0 ==>5*GB=-2*BA=2*AB ==> GB=2*AB/5=2
3) en deduire que 2MA²+3MB²=5MG²+302*MA^2+3*MB^2=5*MG^2+2*GA^2+3*GB^2=5*MG^2+2*(-3)^2+3*(2)^2=5*MG^2+30
Exercice 3 :
1) Un=(1/n-1/(n+1))*1=1/(n*(n+1)2) un+1-un=1/((n+1)*(n+2))-1/(n*(n+1))=(n-(n+2))/(n*(n+1)*(n+2))= -2/(n*(n+1)*(n+2))
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