Jean et Pierre sont deux jumeaux . Jean, qui est fumeur, dépense 900 euros par an pour l'achat de ses cigarettes. Le jour de Noel , en 2010 , Pierre, qui ne fume pas, lui demande d'imaginer les économies qu'il réaliserait s'il plaçait cette somme plutôt que de continuer à fumer.

Il lui propose de placer 900 euros tous les ans sur un livret rémunéré à intérêts composés au taux annuel de 3% , les intérêt acquis étant versés sur le livret le 31 décembre à minuit.

Jean suit ce conseil . Le 31 décembre 2010 , il dépose donc 900 euros sur ce livret , les intérêts acquis étant capitalisés le 31 décembre 2011 à minuit . et il s'engage à déposer 900 euros sur ce livret tous les ans , le 31 décembre.

1. Quelle est la somme disponible sur le livret aux dates suivantes
a. Le 1 janvier 2012 ?
b. Le 1 janvier 2013 ?

2. On note
U0 la somme disponible sur le livret le 1 janvier 2010,
U 1 la somme disponible sur le livret le 1 janvier 2011,
U 2 la somme disponible sur le livret le 1 janvier 2012,
U n la somme disponible sur le livret le 1 janvier de l'année 2010 + n, où n désigne un entier naturel.
Montrer qu'on a la relation U n+1 = 1,03 Un + 900.

3. Soit ( V n ) la suite définie, pour tout entier naturel n, par V n = Un + 30 000 (2)
a. Exprimez Vn +1 en fonction de Un +1
b. Deduisez en l'expression de Vn +1 en fonction de (Un), en utilisant la relation (1).
c. Exprimez enfin Vn +1 en fonction de Vn à l'aide de la relation (2)

4. a. Montrez que (Vn) est une suite géométrique ,dont on precisera le premier terme v0 et la raison
b. Deduisez en l'expression de Vn en fonction de n, puis montrer que Un peut s'écrire : Un=30900*1.03^n-30000.

5. Pierre affirme qu'en moyenne, un fumeur s'arrête après avoir fumé pendant trente ans.

De quelle somme Jean disposera-t-il le 1er janvier 2041 s'il a arrêté de fumer le 25 décembre 2010