BAC S 2010 Antilles-Guyane CALCULATRICE INTERDITE http://labolycee.org Exercice II : Aspect énergétique d’un système {Solide-Ressort} (5,5 points)
On dispose d’un système {solide, ressort} constitué d’un mobile de masse m considère comme un point matériel G accroché à l’extrémité d’un ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de raideur k = 15 N.m−1. Le système est installé sur une table à coussin d’air afin de négliger les frottements entre le mobile et la table.
Ce mobile, assimilé à son centre d’inertie G, peut osciller horizontalement sans frottement sur une tige parallèle à l’axe Ox (figure 1). On étudie son mouvement dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Le point O coïncide avec la position de G lorsque le ressort est au repos.

m G

O

x0

x

i

Figure 1
1. Équation différentielle associée au système {solide, ressort} et solution.
1.1.

Faire l’inventaire des forces exercées sur le mobile. Recopier sur votre copie la figura 1 en faisant apparaître ces différents vecteurs forces sans souci d’échelle.

1.2.

Rappeler l’expression vectorielle F de la force de rappel du ressort en fonction de k, x et i .

1.3.

En appliquant la seconde loi de Newton au mobile, établir l’équation différentielle du mouvement. 1.4.

Vérifier que x = xM.cos 

 k

× t + ϕ  est solution de cette équation différentielle quelles que
 m




soient les valeurs des constantes xM >0 et ϕ.
1.5.

Le mobile est écarté de sa position d’équilibre et lâché à l’instant t = 0 s, sans vitesse initiale, de la position x0 = + 4,0 cm.
Déterminer numériquement les valeurs de xM et ϕ.

2. Introduction de l’énergie potentielle élastique.
Pour étirer le ressort, un opérateur tire sur l’extrémité G et la déplace d’un point A d’abscisse xA vers un point B d’abscisse xB. La force exercée par l’opérateur sera notée F op .
F op

m G

O

Figure 2

i

xA

xB

2.1.

En appliquant la troisième loi de Newton,