Exercices sur le raisonnement par récurrence - Corrigé
1) On considère la suite

définie par

Montrer que pour tout entier naturel ,
.
Montrons par récurrence la propriété : Pour tout entier naturel ,
Initialisation :
. La propriété est vraie pour
Hérédité : Supposons qu’il existe un entier naturel tel que

Conclusion : On a montré que la propriété est vraie au rang et que si vraie alors est aussi vraie. Donc pour tout entier naturel
2) On considère la suite

définie pour

.

est

par :

Montrer que pour tout
,
.
On note cette propriété .
Initialisation :
. La propriété est donc vraie pour
Hérédité : Supposons qu’il existe un entier tel que
Par définition
En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a
On reconnait l’identité remarquable
. Donc
Ainsi
Conclusion : La propriété est vraie pour et elle est héréditaire donc pour tout entier .
3) Démontrer par récurrence sur l’entier

Initialisation :

et

que

. La propriété est donc vraie pour

Hérédité : Supposons qu’il existe un entier

On factorise la somme par

tel que :

:

Ainsi
N. Duceux – Lycée Paul Doumer – Année 2012/13

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Conclusion : La propriété est vraie au rang vraie pour tout entier
.
4) Démontrer par récurrence sur l’entier

que

Démontrons par récurrence sur l’entier

Initialisation : Pour

,

et elle est héréditaire donc elle est

que :

. Donc

Hérédité : Supposons qu’il existe un entier

est vraie tel que

Ainsi, si la propriété est vraie au rang alors elle est vraie au rang
Conclusion : La propriété est vraie pour et elle est héréditaire donc elle est vraie pour tout entier
Démontrons par récurrence sur l’entier

Initialisation : Pour

,

que :

. Donc

Hérédité : Supposons qu’il existe un entier

On développe l’identité remarquable
D’où :

est vraie. tel que

avec

et

Ainsi, si la propriété est vraie au rang alors elle est vraie au rang
.
Conclusion : La propriété est vraie