exercice 1
1. a) Nous avons : pour tout nombre complexe non nul, , soit ou encore .
De plus : arg() + arg() = arg(-1) + 2k
Donc : arg() + arg() =+2k.

1. b) Puisque M1 appartient au cercle de centre O et de rayon 2, nous avons : , donc l'affixe z' de M'1 vérifie . Par conséquent, M'1 appartient au cercle de centre O et de rayon et, de plus, les points O, M1 et M'1 sont tels que . Soit N1 le point d'intersection de [OM1] avec le cercle de centre O et de rayon . Le point M'1 est le symétrique de N1 par rapport à l'axe des ordonnées. Le milieu I1 du segment [M1M'1] est obtenu ensuite sans difficulté.
Pour la construction de M'1 et I1, il faut regarder la figure à la fin de l'exercice.
2. a) L'affixe de I est donnée par : , soit zI = i sin.

2. b) est une mesure de (;) (avec M2 situé sur le cercle de centre O et de rayon 1), son ordonnée est égale à sin. I2 est donc le point de l'axe imaginaire ayant la même ordonnée que M2; c'est le projeté orthogonal de M2 sur l'axe (O;).
Pour la construction de I2, il faut se reporter à la figure à la fin de l'exercice.

2. c) Lorsque M décrit (C), le point I décrit le segment [-1 ; 1] de l'axe des ordonnées.

3. a) M et I sont confondus si, et seulement si, pour z non nul,
, soit : ou encore , c'est-à-dire .
Donc: ou .
Les points tels que M et I soient confondus sont les points d'affixes respectives i et -i.

3. b) .
L'affixe de I est si, et seulement si: ssi . ssi (d'après la factorisation précédente), ssi Donc : ou . ou .
Les points M tels que l'affixe de I soit sont les points d'affixes respectives et .

4. a) L'affixe de I est donné par :
, soit .
En posant avec ( ;) distincts de (0 ;0), nous obtenons :
.

b) I appartient à l'axe des abscisses si, et seulement si, Im() = 0 pour différent de 0. Nous avons : qui est équivalent à , puisque .
L'ensemble A des points M du plan pour lesquels I appartient à l'axe des abscisses privé de O est l'axe des abscisses privé du