Exercices sur la fonction exponentielle

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  • Publié le : 5 octobre 2010
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Exercices sur la fonction exponentielle Exercice 1 : Ecrire sous la forme d’une puissance de e les expressions suivantes : 4 e7 -3 (e-1) a) 2 b) c) (exp(e2)) e e d) e2exp(-3) e) e-3 × exp(2) f) exp(1) × exp(-2) Exercice 2 : Ecrire plus simplement chacun des nombres suivants : 2 a) ln exp -  b) exp(ln(3) – 1) c) e5 ln 3 – 3eln 7   3     e2 ln 3 e3 d) ln 8 e) 4 + ln 3 e e Exercice 3 :Résoudre dans ! les équations suivantes : a) exp(2x – 3) = 1 b) ex = 2 c) e-2x = -2 d) exp(3x + 1) = e1– 5x 4x + 1 e) e =3 f) e2x = e-x Exercice 4 : Résoudre dans ! les équations suivantes : 2 2 b) ex – 16 = 144 a) (ex) – 3ex + 2 = 0 c) e(x – 4)(2x – 1) = e d) e-x + ex = 2 6 e) ex – 5 + x = 0 f) 2ex(ex – 6e-x) = 5ex e Exercice 5 : Résoudre dans ! les inéquations suivantes :
1

Exercice 7 :Calculer les limites suivantes : 2 a) lim (e3x – 2ex + 4) b) lim e-2x – x + 1 c) lim (e-x – 3e2x – 2) e) lim – e
x→0 x → –∞ 1 x x → –∞ x → –∞ x→0

d) lim –

1 e –1
x

Exercice 8 : 1. Démontrer que : ex + 1 1 + e-x = . ex – 1 1 – e-x 2. Utiliser l’écriture la plus adaptée pour calculer les limites suivantes : ex + 1 ex + 1 a) lim x b) lim x x → +∞ e – 1 x → –∞ e – 1 x e +1 ex + 1 c) lim + x d)lim – x x→0 e – 1 x→0 e – 1 pour tout réel x ≠ 0, Exercice 9 : Valider ou infirmer les propositions suivantes : 1. x a exp(x2) est la dérivée de la fonction f définie sur ! par : f(x) = exp(x2) 2. x a - e-x est la dérivée de la fonction g définie sur ! par : g(x) = e-x 1 3. x a - 2x est la dérivée de la fonction h définie sur ! par : e 1 h(x) = x e 4. x a (3x2 – 1)exp(x3 – x + 1) est la dérivée dela fonction k définie sur ! 3 par : k(x) = ex – x + 1 Exercice 10 : Déterminer la dérivée de chacune des fonctions définies cidessous en précisant dans chaque cas l’ensemble de validité des calculs. b) g(x) = e2x – 3ex + 4 a) f(x) = e-x 1 c) h(x) = (x + 1)ex d) k(x) = exp  x   e) m(x) = ln(3 + e-x)

a) e3x + 1 > 0 d) exp(3x + 14) > -3

b) e 2 ≤ -2 2x + 2 e) e – e3x – 5 < 0

x+1

c)e-5x + 2 < 1

Exercice 6 : Calculer les limites suivantes : ex + 3 a) lim 3e-2x + 6 b) lim x x → –∞ x → +∞ e d) lim (e2x – ex + 2) c) lim exp( x – 5)
x → +∞ x → +∞ x → +∞

e) lim ln(1 + e )

-x

f) lim

e3x – 1 x x → +∞ 3 – e

Exercice 11 : Valider ou infirmer les propositions suivantes : 1. La fonction exp est une primitive sur ! de la fonction exp. 2. La fonction f : x a e-3x admetpour primitive sur ! la fonction f : x a e-3x. 3. G définie sur ! par G(x) = exp(3x² – 5) est une primitive sur ! de la fonction g : x a 6x exp(3x² – 5). 3 4. La fonction h : x a (ex) admet pour primitive sur ! la fonction 1 H : x a e3x. 3 1 5. K : x a exp  est une primitive sur ]0 ; +∞[de la fonction k définie par : x²   2  1 . x a 3 exp 2 x x  Exercice 12 : Soit f la fonction définiesur ! par : f(x) = (2x – 1)e-x dont le tableau de variation est donné ci-après. 3 -∞ +∞ x 2 f ’(x) + 0 – a f -∞ 0 1. Justifier les renseignements consignés dans le tableau ci-dessus en précisant la valeur de a. 2. Résoudre algébriquement l’inéquation f(x) ≥ 0. Exercice 13 : Soit f la fonction définie pour tout x appartenant à ! \ {1} par : ex f(x) = . 2(1 – x) → → On note C sa courbereprésentative dans un repère orthonormé (O ; i , j ). 1. Justifier les éléments contenus dans le tableau de variation de f. x -∞ 1 2 +∞ f ’(x) + + – +∞ e² 2 f 0 -∞ -∞

2. Tracer C dans (O ; i , j ). Exercice 14 : A- On considère la fonction f définie sur ! par : f(x) = x + ex. On appelle C sa représentation graphique dans un repère orthonormé → → (O ; i , j ) (unité graphique : 1 cm). 1. Déterminerla limite de f en +∞ et en –∞. 2. Etudier les variations de f. 3. Déterminer les coordonnées du point de C où la tangente T à C a pour coefficient directeur 3. 4. Démontrer que l’équation f(x) = 0 a une solution unique α. Donner un encadrement de α d’amplitude 10-2. Etudier le signe de f(x) selon les valeurs de x. 5. Démontrer que la droite D d’équation y = x est asymptote à la courbe C en -∞....
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