Ch 9 Calcul intégral – Notion de primitive

Correction des exercices type Bac

Exercice 7 Bac S – Liban - Mai 2006
Partie A : étude d’une fonction
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +[ par : f(x) = x ln(x + 1).
Sa courbe représentative (C) dans un repère orthogonal (O ; ; ) est donnée en annexe ci-dessous.
1) a) Montrer que la fonction f est strictement croissante sur l’ensemble [0 ; +[.
La fonction f est dérivable sur [0 ; +[ car la fonction : x x est dérivable sur
[0 ; +[, ainsi que la fonction : xx + 1 et cette dernière a ses images dans l’intervalle [1 ; +[ et la fonction ln est dérivable sur [1 ; +[.
Pour tout x positif, f ’(x) = 1ln(x + 1) + x= ln(x + 1) + .
Pour x0, x + 1 1 d’où ln(x + 1) ln 1 ou bien ln(x + 1) 0
Pour x0, 0
On en déduit que f ’(x) 0 d’où f est strictement croissante sur [0 ; +[ (f ’(x) ne s’annule que pour x = 0)
b) L’axe des abscisses est-il tangent à la courbe (C) au point O ?
On a f(0) = 0 et f ’(0) = 0 d’où la courbe de f admet au point O une tangente horizontale donc l’axe des abscisses, (Ox), est tangent à (C) au point O. 2) On pose I = .
a) Déterminer trois réels a, b et c tels que = a x + b + . ax + b + =
On en déduit que = ax + b + équivaut à : = équivaut à : équivaut à :
Donc = x – 1 + .
b) Calculer I.
D’après le résultat précédent, I = = [ – x + ln(x + 1)] = – 1 + ln 2 – (0 – 0 + ln 1) = ln 2 –
3) A l’aide d’une intégration par parties et du résultat obtenu à la question 2), calculer, en unités d’aires, l’aire A de la partie du plan limitée par la