EXERCICES MPSI
II. 1) NOTATIONS

R. FERRÉOL 13/14

A1. II. SOMMES, RECURRENCES, BINOME
ET

1. : Sommes des puissances p-ièmes des n premiers entiers. n n n n n(n + 1)
Posons : an = k= ; bn = k2 ; cn = k3 ; dn = k4 .
2
k=1 k=1 k=1 k=1 n

(a) En remarquant que cn+1 =

3

(k + 1) , montrer que cn+1 = cn + 3bn + 3an + n + 1 ; en déduire la valeur de bn .

k=0

(b) Montrer de même que dn+1 = dn + 4cn + 6bn + 4an + n + 1 ; en déduire la valeur de cn .
2
n (n + 1) (2n + 1) n(n + 1)
; cn =
Rep : bn =
6
2
(c) * Généralisation : si Snp =

n

kp , montrer la formule de récurence de Pascal (1654) :

k=0 p−1 (p +

1) Snp

= (n + 1)

p+1

−

p+1 k k=0

Snk .

(d) * Calculer dn = Sn4 et vérifier que dn = (6an − 1) bn /5.
2. : Remplir le tableau après avoir calculé les sommes correspondantes : ai,j =

1 ai j

=

j

=

i

j

i+j

ij

1 i, j n

ai
1 i j n

3. :
(a) Calculer

n

min (i, j) .
1 i,j n n (b) En déduire la valeur de

n

max (i, j) , puis celle de

1 i,j n

1 i,j n

|i − j| .

4. * Inégalité de Tchebychev :
(a) Montrer que n 1 i<j n

(b) En déduire que si a1

a2

...

(aj − ai ) (bj − bi ) = n an et b1

b2

...

n

ak bk k=1 n

ak

−

k=1

bk k=1 bn

n i=1 ai

n i=1 bi

n

n i=1 ai bi

n

n

(autrement dit, lorsque deux séries de n nombres sont rangés dans l’ordre croissant, le produit de leurs moyennes est inférieur ou égal à la moyenne de leurs produits)
5. * :
(a) Démontrer l’identité de Lagrange : n n

a2k k=1 b2k k=1 2

n

=

ak bk k=1 +
1 i<j n

(ai bj − aj bi )2

(b) En déduire que le produit de 2 sommes de 2 carrés (parfaits) est encore une somme de 2 carrés, et que plus généralement, le produit de 2 sommes de n carrés est une somme de .... carrés.
1

EXERCICES MPSI

A1. II. SOMMES, RECURRENCES, BINOME

R. FERRÉOL 13/14

→
→
(c) En déduire, pour − u = (a1 , a2 , ..., an ) et − v = (b1 , b2 , ..., bn ) ∈ Rn l’inégalité de Cauchy-Schwarz : n n

n

a2k k=1 ak bk k=1 b2k k=1 →
→
A quelle CNS portant sur − u et − v a-t-on égalité entre les deux membres de