Fiche BAC S 03

Term. S
Théorème des valeurs
Intermédiaires (th.v.i.)

Exercice n°1. [RÉSOLU]
On considère la fonction définie par : f (x)= x 3+ x 2 −5 x+4
1°) Calculer la dérivée de f ainsi que les limites aux bornes de Df.
En déduire le le tableau de variation de f sur ℝ .
2°) Montrer que l'équation f (x) = 0 admet une unique solution α∈ℝ .
3°) Donner un encadrement puis une valeur approchée, arrondie à 10–2 près, de α .
4°) Déduire des résultats précédents le signe de f (x) sur ℝ
------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercice n°1 (Corrigé)
1°) Calcul de la dérivée de f ainsi que les limites aux bornes de Df.
La fonction f est une fonction polynôme, donc elle est définie, continue et dérivable sur ℝ .
Et pour tout x ∈ℝ : f ' (x)=3 x 2+2 x−5 .
a) Pour connaître le sens de variation de f , on étudie le signe de f ' ( x) .
On résout d'abord l'équation f ' (x)=0 c'est-à-dire 3 x 2+2 x−5=0 avec a = 3 ; b = 2 et c = –5.
On calcule le discriminant : Δ=b 2−4 ac=2 2−4×3×(−5)=4+60=64
Δ>0 , donc cette équation admet deux solutions :
−b− √ Δ −2− √ 64 −10 −5
−b+√ Δ −2+√ 64 6 x 1=
=
=
=
=
= =1 et x 2=
2a
6
6
3
2a
6
6
On en déduit le signe de f ' ( x) . Pour cela, nous avons 2 méthodes :
1ère méthode : on récite le théorème du cours de 1ère S :
«On sait que qu'un trinôme du second degré est toujours du signe de "a" à l'extérieur des racines ».
2ème méthode : On factorise l'expression de f ' ( x ) puis on fait un tableau de signes :
5
f ' (x)=a( x− x 1)( x− x 2)=3( x+ )( x−1)
3
ou encore f (x)=(3 x+5)(x−1)
Attention : Il faut séparer le tableau de signes de f ' et le tableau de variation de f.
Term.S – FicheBac n°3 Le Th.v.i

© Abdellatif ABOUHAZIM.

Lycée Fustel de Coulanges - Massy

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x

–5/3

−∞

5
3

–

x−1

–

f '( x)

+

x+

1

0

+

0

+

–

0

+

–

0

+

On en déduit le tableau de variation de f . x −∞
–5/3
f ' ( x)

+

f (x)

+∞

0

–

1

+∞

0

+

10,481

+∞

1

−∞

On calcule f