Fonctions exponentielles et logarithmes

Il s'agit de deux familles de fonctions étroitement liées, la première étendant à toutes les valeurs réelles la notion déjà connue de puissance. On en donne ici une présentation naïve.
Exemple introductif : si beaucoup de grandeurs, tels les poids, les bénéfices, les durées, s’ajoutent, d’autres valeurs, tels les indices, se multiplient ; supposons ainsi une population animale qui s'accroît de 3 % chaque année, si elle part de la taille P 0, elle vaudra les années suivantes :
P1 = P0.1,03
P2 = P0.1,032
P3 = P0.1,033
...
Pt = P0.1,03t ce qui fait apparaître les puissances successives de 1,03, il s’agit d’une croissance de type exponentiel. Fonctions exponentielles, fonction exponentielle de base a
Définition : soit a un réel strictement positif, on connaît les puissances entières successives de a : a, a2, a3, … an. Cette fonction se généralise d’une manière naturelle unique aux exposants négatifs, fractionnaires, puis réels quelconques, c’est la fonction exponentielle de base a, notée f(x) = ax (on note que la variable x ici est l’exposant, contrairement au cas des fonctions polynomiales telle f(x) = xk).
Graphe : si a > 1, ax est est une fonction strictement croissante de l’ensemble des réels vers les réels strictement positifs. Son graphe est le suivant :

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On remarque la croissance accélérée de cette fonction qui dépasse celle de toutes les fonctions polynomiales (par exemple f(x) = x1000).
Les deux fonctions exponentielles les plus utilisées sont celle de base 10 (f(x) = 10 x) et celle de base e (où e = 2,71828183…, nombre pouvant sembler mystérieux mais qui apparaît d'une manière naturelle dans une présentation alternative plus théorique) notée ex ou exp(x), voire exp x, et appelée simplement fonction exponentielle.
Propriétés : généralisant ce qui est bien connu pour les puissances entières, la propriété fondamentale des fonctions exponentielles peut s’exprimer ainsi les fonctions exponentielles transforment les