1/ Les ensembles de nombres.

En mathématiques nous utilisons différents ensembles de nombres :

N : les entiers naturels ou entiers positifs, ex : 6 ; 0 ; 15
Z : les entiers relatifs (positifs et négatifs), ex : 6 ; 0 ; - 4
D : les nombres décimaux, ex : 6 ; - 4 ; 8,666
Q : les rationnels, ex : - 4 ; 8,666 ; 8,666…. ; 4/3
R : les réels (tous les nombres qui existent), ex : 8,666 ; 8,666…. ; 4/3 ; 3/4 ; 7

Il y a deux représentations différentes.

Les ensembles :
[pic]
La droite numérique :

[pic]
Objectif : savoir placer un nombre sur les schémas ci-dessus.

Ces ensembles sont inclus les uns dans les autres N [pic] Z [pic] D [pic] Q[pic]R

Ce qui veut dire que 3 (par exemple) est à la fois un entier naturel, relatif, un décimal, un rationnel et un réel.

Il est important de ne pas confondre un nombre et ses écritures. [pic]

En particulier, il ne faut pas confondre "nombre décimal" et "écriture décimale". [pic]
3 ; 4 – 1 ; [pic]; [pic]; 2,99999 …. etc. ne sont pas des nombres différents mais différentes écritures du même nombre désigné en général par 3, son écriture la plus simple.
Tout nombre réel a une écriture décimale, ce qui ne veut pas dire que tout nombre réel est un nombre décimal.

Une écriture décimale peut désigner :

- un entier (3,00)
- un décimal (3,25)
- un rationnel non décimal (0,3333... = 1/3)
- un irrationnel ([pic] = 1,414...)

Pb : Comment, à partir de son écriture décimale, déterminer à quel ensemble appartient un nombre ?

1/ Si l'écriture décimale est finie, le nombre est décimal

2/ Si l'écriture décimale est infinie, elle peut être périodique ou pas.

⋄ Si elle est infinie périodique, le nombre est rationnel

a =3, 42 42 42……….. Ecrivons a sous forme de fraction. 100a = 342, 42 42………..

Pourquoi multiplier par 100 ? On multiplie par 100 pour retrouver la même partie décimale

100a – a = 99a = 339

a =339/99 = 113/33