A 2012 MATH II PC
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS 2012 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l’épreuve : trois heures) L’usage d’ordinateur ou de calculatrice est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PC

L’énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Equation de la chaleur
Dans ce texte on note R l’ensemble des nombres réels, N l’ensemble des nombres entiers positifs ou nuls, N∗ = N∖ {0} l’ensemble des nombres entiers strictement positifs et Z l’ensemble des entiers relatifs. Le problème est consacré à l’équation de la chaleur monodimensionnelle ; la fonction inconnue définie dans le domaine [0, ] × [0, +∞[ ⊂ R2 à valeurs réelles est supposée continue, et de plus indéfiniment dérivable par rapport à sur ]0, [ et par rapport à sur ]0, +∞[ . L’inconnue est solution du système d’équations suivant : ∂ ∂2 ( , )= ( , ) sur ]0, [ × ]0, +∞[ ∂ ∂ 2 (0, ) = ( , ) = 0 ∀ ∈ [0, +∞[ : conditions aux limites ( , 0) = ( ) ∀ ∈ [0, ] : condition initiale,

(1) (2) (3)

où désigne une fonction définie sur l’intervalle [0, ] . Dans la suite on prendra comme condition initiale la fonction définie par ( )= La variable est la variable d’espace, − 0 ≤ ≤ /2 /2 ≤ ≤ . (4)

est la variable temporelle.

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Un problème aux valeurs propres

On cherche ici à déterminer les valeurs de (valeurs propres) pour lesquelles il existe une solution non nulle de l’équation différentielle