Algèbre 1

UNIVERSITE IBN ZOHR
Faculté des sciences
Agadir

Filière SMA & SMI

Semestre 1

Module : Algèbre 1

Année universitaire : 2011 -2012

A. Redouani & E. Elqorachi

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Algèbre 1

Contenu du Module :

Chapitre 1 : Introduction
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Logique
Ensembles
Applications
Relations binaires
Dénombrement & Dénombrabilité

Chapitre 2 : Structures algébriques
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Lois de composition interne
Groupes
Anneaux
Corps

Chapitre 3 : Arithmétique dans Z
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Division euclidienne dans Z
PGCD
Nombres premiers
Congruences

Chapitre 4 : Polynômes & Fractions rationnelles
 Définition formelle des polynômes
 Divisibilité, pgcd, Irréductibilité, racines…
 Fractions rationnelles, Décomposition en éléments simples
N.B : le contenu de ce polycopié sera enrichi, développé par d’autres exemples, d’autres résultats,…, donc la présence aux séances du cours magistral est obligatoire !!!

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Algèbre 1

Chapitre I : Introduction en Algèbre.
I.
Notion de Logique :
Définition :
On appelle assertion ou proposition simple un énoncé dont on peut affirmer sans ambiguïté s‟il est vrai ou s‟il est faux.
Exemple :
« 3 < 10 » est une assertion vraie ; « 5 < 2 » est une assertion fausse. Par deux points distincts il passe une droite et une seule : est une assertion vraie.
Définition :
On appelle prédicat ou proposition fonctionnelle un énoncé contenant des variables, qui sera vrai pour certaines valeurs attribuées aux variables, faux pour les autres variables.
Exemple :
« 𝑃(𝑥) : 𝑥 > 10 » est vraie pour les réels strictement supérieurs à 10, fausse pour les autres.
Définition :
La négation d‟une proposition « 𝑃 » que l‟on note « 𝑛𝑜𝑛 𝑃 » est vraie lorsque 𝑃 est fausse, fausse lorsque 𝑃 est vraie.
Exemple :
La négation d‟une fonction 𝑓 paire est une fonction 𝑓 telle qu‟il existe 𝑥0 ∈ ℝ vérifiant f ( x0 )  f (  x0 ) .
Connecteurs :
Définitions :
 La conjonction de deux propositions 𝑃,