Farid

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 40 (9767 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 17 décembre 2010
Lire le document complet
Aperçu du document
© 2008 - Gérard Lavau - http://pagesperso-orange.fr/lavau/index.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitement. Toute diffusion à titre onéreux ou utilisation commerciale est interdite sans accord de l'auteur. Si vous êtes le gestionnaire d'un site sur Internet, vous avez le droit de créer un lien de votre site vers mon site, à conditionque ce lien soit accessible librement et gratuitement. Vous ne pouvez pas télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre.

ESPACES VECTORIELS
PLAN I : Généralités 1) Définition et exemples 2) Sous–espaces vectoriels 3) Sous–espace vectoriel engendré par une partie 4) Dépendance et indépendance linéaire. 5) Bases 6) Relation de liaison II : Espace de dimension finie 1)Théorème fondamental 2) Théorème de la dimension des bases 3) Théorème de la base incomplète 4) Dimension d'un sous–espace vectoriel 5) Rang d'un système de vecteurs III : Somme de sous–espaces vectoriels 1) Somme de deux sous–espaces vectoriels 2) Somme directe de deux sous–espaces vectoriels 3) Supplémentaires 4) Cas de la dimension finie IV : Espaces affines 1) Définition 2) Barycentres 3)Sous-espaces affines 4) Parties convexes Annexe : un exemple de changement de repère, l'effet Doppler-Fizeau et le paradoxe des jumeaux
¡ ¡

désigne un corps commutatif, et plus spécialement un sous–corps de Dans toute la suite, plus souvent ou lui-même. I : Généralités
£ £ ¢ ¢

1– Définition et exemples Les espaces vectoriels sont des groupes additifs munis d'une loi externe sur un corps . Voici desexemples d'espaces vectoriels : espace vectoriel des complexes sur . 2 , 3 et plus généralement n sur le corps des réels. De même n sur le corps des complexes ou plus généralement n sur le corps . -1¤ ¤     ¦ ¦ © ©   ¨ ¨ ¥ ¥ § §

   

, le

On pourra réfléchir à la notion d'hypercube de dimension 4, d'autant plus facilement qu'on réalisera que les cubes de dimension 3 sont représentéssans difficulté sur un tableau de dimension 2 !! Partant d'un point translaté d'une longueur donnée, on obtient un segment.

Ce segment, translaté dans une direction orthogonale de la même longueur, donne un carré.

Ce carré, translaté dans une troisième direction, orthogonale aux deux précédentes, donne un cube.

Ce cube, translaté dans une quatrième direction, orthogonale aux troisprécédentes, donne un hypercube.

-2-

D 3 C 3 D" C" B" C' D C B 3

A 3

A" D' A'

B' A B

Les objections relatives au fait que cette quatrième dimension n'existe pas ne sont pas recevables. En effet, aucune objection n'est faite en général lors de la construction du cube sur la surface plane constituée d'une feuille de papier ni sur le fait que tous les angles de la figure ainsi tracée sontdroits.

L'argument consistant à dire que, certes, le cube est représenté sur une surface plane, mais qu'il existe une troisième dimension extérieure à cette surface, est un argument recevable, mais autorise également la généralisation suivante : l'hypercube est également représenté sur une surface plane. Il peut être également représenté en perspective dans notre espace de dimension 3 (La GrandeArche de la Défense par exemple). Mais ces représentations ne sont que des projections en dimension 2 ou 3 d'un objet quadridimensionnel. Les structures multidimensionnelles abondent. Il a existé il y a quelques années par exemple un ordinateur parallèle constitué de 65536 processeurs. Ces processeurs étaient reliés entre eux suivant une structure correspondant à celle d'un hypercube de dimension16 ! Un hypercube de dimension n est l'ensemble des points de coordonnées (x1, ..., xn) avec xi = 0 ou 1. Il y a donc 2n points. Le nombre an d'arêtes vérifie la relation de récurrence : an = 2.an–1 + 2n–1 n–1 ce qui conduit à an = n.2 . Le nombre fn de faces de dimension 2 vérifie la relation : fn = 2.fn–1 + an–1 = 2.fn–1 + (n–1).2n–2 ce qui conduit à fn = n(n–1)2n–3 Le nombre d'hyperfaces...
tracking img