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1. a. Un nombre est divisible par 2 si et seulement si son chiffre des unités est dans l’ensemble : {0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8}.
b. Si k = 0, 10k = 1, le reste de sa division euclidienne par 2 est donc 1.
Si k ≥ 1, 10k = 2 × (5 × 10k-1), 10k est donc divisible par 2 ; le reste de sa division euclidienne par 2 est 0.
On a donc pour tout k > 0, 10k ≡ 0 [2], donc ak 10k ≡ 0 [2]. On en déduit que N ≡ a0 [2].
Ainsi N et son chiffre des unités ont le même reste dans la division euclidienne par 2, d’où le critère.
c. Un nombre n 1 0 a ...a a est divisible par 4 si et seulement si 1 0 a a l’est.
d. Si k = 0, 10k = 1, le reste de sa division euclidienne par 4 est donc 1.
Si k = 1, 10k = 10 = 2 × 4 + 2, le reste de sa division euclidienne par 4 est donc 2.
Si k > 1, 10k = 4 × (25 × 10k-2), le reste de sa division euclidienne par 4 est donc 0.
On en déduit que N ≡ a0 + 10 a1 [4], donc que N ≡ 1 0 a a [4], d’où le critère énoncé au 1.c.
2. a. Un nombre est divisible par 3 si seulement si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 3. b 10 = 3 × 3 + 1 donc 10 ≡ 1 [3] ; par suite quel que soit k ≥ 0, 10k ≡ 1k [3] donc 10k ≡ 1 [3].
On en déduit que quel que soit l’entier naturel k, ak 10k ≡ ak [3] ; on a donc : N ≡ n k k 0 a ’ ©
[3], d’où le critère.
c. 10 = 9 + 1 donc 10k ≡ 1 [9] ; par suite quel que soit k ≥ 0, 10k ≡ 1k [9] donc 10k ≡ 1 [9].
On en déduit que quel que soit l’entier naturel k, ak 10k ≡ ak [9] ; on a donc : N ≡ n k k 0 a ’ ©
[9].
d. On déduit de la question précédente le critère de divisibilité par 9 :
Un nombre est divisible par 9 si seulement si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 9.
3. Si k = 0, 10k = 1 donc 100 ≡ 1 [5] ; si k ≥ 1, 10k = 5 × (2 × 10k-1) donc 10k ≡ 0 [5], donc ak 10k ≡ 0 [5].
On en déduit que N ≡ a0 [5] et par suite le critère de divisibilité par 5 :
Un nombre est divisible par 5 si et seulement si son chiffre des unités l’est, c’est-à-dire si et seulement si son chiffre des