Faut il croire a la science
EXERCICES CORRIGÉS
Josette Charles
Professeur à l’Université de Montpellier 2
Mostafa Mbekhta
Professeur à l’Université de Lille 1
Hervé Queffélec
Professeur à l’Université de Lille 1
Illustration de couverture : digital vision R
c Dunod, Paris, 2010
ISBN 978-2-1005-5453-9
À mes parents. Ils ne savaient ni lire ni écrire. Leur amour me permet aujourd’hui d’écrire ce livre. Mostafa Mbekhta
À mes parents. Hervé Queffélec
À tous les participants du groupe « opérateurs » de Montpellier. Josette Charles
A VANT - PROPOS
L’idée de cet ouvrage s’est peu à peu dégagée à l’occasion de rencontres (colloques, soutenances de thèse, GDR, etc.) entre trois amis universitaires travaillant, à des titres divers, dans le domaine de l’analyse fonctionelle. Cette Analyse dite fonctionnelle interagit avec de nombreux autres domaines des mathématiques, avec un enrichissement mutuel. C’est ce que nous avons tenté de mettre en évidence tout au long de ces dix chapitres d’exercices corrigés et commentés, en ayant le souci de nous maintenir à un niveau moyen qui est celui d’une première année de Master, c’est-à-dire celui du M1, et de rendre l’utilisation de cet ouvrage commode pour un lecteur motivé et ayant un niveau initial équivalent à celui du L3. Illustrons par quelques exemples les interactions mentionnées plus haut : 1. Convexité : Celle-ci apparaît notamment avec le théorème de Hahn-Banach. Ce dernier débouche sur la construction de moyennes invariantes (« moyennabilité » du groupe des entiers) aussi appelées moyennes de Banach au chapitre III. Ces moyennes à leur tour sont utilisées au chapitre V pour démontrer le théorème de similarité de Nagy. Ce théorème intervient lui-même au chapitre X pour donner une caractérisation complète des opérateurs ayant une « grande » algèbre de Deddens associée. Un autre aspect de la convexité est la notion de point extrémal, présente au chapitre IX (avec le