Fibonacci

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  • Publié le : 22 novembre 2010
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La suite de Fibonacci, sous la forme du nombre d’or, dans la vie de tous les jours

Introduction au nombre d’or

L'apparition du nombre d'or remonte à la préhistoire. Ayant appris à diviser un cercle en 5 ou en 10, les hommes en vinrent au pentagone et au décagone , et dès lors ils avaient sous les yeux le nombre d'or. Ce sont aux Grecs que l'on doit une science de la géométrie, mais c'est àEuclide que l'on est redevable d'un véritable traité écrit. Il ne prend pas la peine de désigner le nombre par un nom particulier comme on le fera ultérieurement par l’appellation « Le nombre d'or ». Ce nombre noté « phi » est la racine positive de l'équation x²-x-1=0. Il vaut environ 1,618 033 989.
Le nombre d’or revient à la mode à la Renaissance. En 1509, Luca Pacioli publie un ouvrageintitulé « Divina Proportione », illustré par Léonard de Vinci : premier traité consacré pour une large part au nombre d'or. L'époque contemporaine fait une large place au nombre d'or, en particulier avec le peintre Serusier et l'architecte Le Corbusier. Le peintre catalan Salvador Dali a également utilisé le nombre d'or dans sa peinture.

On le désigne par la lettre grecque j ( phi ) en hommage ausculpteur grec Phidias (né vers 490 et mort vers 430 avant J.C) qui décora le Parthénon à Athènes. C'est Théodore Cook qui introduisit cette notation en 1914.


Phidias réalise lui-même la statue chryséléphantine (faite d'or et d'ivoire) d'Athéna Parthénos.
Explication de l’obtention du nombre d’or

Le " nombre d’or ", ou " section dorée ", ou " proportion dorée ", est un nombre égal à ,soit environ 1,618033988749....

Ce nombre correspondrait au partage le plus harmonieux d’une grandeur en deux parties inégales.
Si a et b (a étant plus grand que b) sont les deux parties de la grandeur p,
On a :
Comme p = a + b, on trouve , donc a2 = ab + b2.

En donnant la valeur 1 au plus petit, c’est-à-dire à b, on trouve :
a2 - a = 1 , donc a2 -a -1 = 0.
Laracine positive de cette équation du second degré est .

1. La suite de Fibonacci et le nombre d’or

L' histoire ...

Il y a 10 000 ans : Première manifestation humaine de la connaissance du nombre d'or (temple d'Andros découvert sous la mer des Bahamas).

2800 av JC : La pyramide de Khéops a des dimensions qui mettent en évidence l'importance que son architecte attachait au nombre d'or.Vè siècle avant J-C. (447-432 av.JC) : Le sculpteur grec Phidias utilise le nombre d'or pour décorer le Parthénon à Athènes, en particulier pour sculpter la statue d'Athéna Parthénos . Il utilise également la racine carrée de 5 comme rapport.

IIIè siècle avant J-C. : Euclide évoque le partage d'un segment en "extrême et moyenne raison" dans le livre VI des Eléments.
1498 : Fra LucaPacioli, un moine professeur de mathématiques, écrit De divina proportione ("La divine proportion").

Au XIXème siècle : Adolf Zeising (1810-1876), docteur en philosophie et professeur à Leipzig puis Munich, parle de "section d'or" (der goldene Schnitt) et s'y intéresse non plus à propos de géométrie mais en ce qui concerne l'esthétique et l'architecture. Il cherche ce rapport, et le trouve (ontrouve facilement ce qu'on cherche ...) dans beaucoup de monuments classiques. C'est lui qui introduit le côté mythique et mystique du nombre d'or.

Au début du XXème siècle : Matila Ghyka, diplomate roumain, s'appuie sur les travaux du philosophe allemand Zeising et du physicien allemand Gustav Theodor Fechner ; ses ouvrages L'esthétique des proportions dans la nature et dans les arts (1927) et LeNombre d'or. Rites et rythmes pythagoriciens dans le développement de la civilisation occidentale (1931) insistent sur la prééminence du nombre d'or et établissent définitivement le mythe .

Au cours du XXème siècle : des peintres tels Dali et Picasso, ainsi que des architectes comme Le Corbusier, eurent recours au nombre d'or.

1945 : Le Corbusier fait breveter son Modulor qui donne un...
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