Fiche de maths tes1

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Kit de survie - Bac ES 1
1-1 Signe de ax + b (a = 0)

Etude du signe d’une expression

On détermine la valeur de x qui annule ax + b, puis on applique la règle : "signe de a après le 0".

x ax+b

−∝

−b/a

+∝ signe de a

signe de (−a)

1-2

Signe de ax2 + bx + c

(a = 0)

On calcule la discriminant ∆ = b2 − 4ac (sauf cas évidents) • Si ∆ < 0, on applique la règle :"toujours du signe de a".

x ax²+bx+c

−∝ Signe de a

+∝

b • Si ∆ = 0, on calcule la racine double : x1 = − . 2a On applique alors la règle : "toujours du signe de a et s’annule pour x = x1 ".

x ax²+bx+c

−∝ Signe de a

x1

+∝ Signe de a

√ √ −b − ∆ −b + ∆ • Si ∆ > 0, on calcule les deux racines : x1 = et x2 = . 2a 2a On applique alors la règle : "signe de a à l’extérieur des racines".x ax²+bx+c

−∝ Signe de a

x1 Signe de (-a)
(on suppose que x1 < x2 )

x2

+∝

Signe de a

1-3

Utilisation des variations d’une fonction pour déterminer son signe

Les cas les plus classiques :
+ + − − −

+ (minimum positif) + −

(maximum négatif) +

0
(f croissante)

0
(f décroissante)



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1

1-4Pour les autres expressions :

Pour étudier le signe d’une expression A(x) (qui n’est pas du premier, ni du second degré et après avoir factorisé au maximum) sur un intervalle I, on résoud l’inéquation A(x) 0 (on cherche ce qui annule l’expression et où mettre le(s) signe(s) +). Exemple : Etude du signe de (3 − ln x) sur I = ]0; +∞[. 3 − ln x 0 ⇔ 3 ln x ⇔ ln(e3 ) x ⇔ e3 x. On en conclut quel’expression s’annule pour x = e3 et qu’il faut mettre le signe + pour 0 < x < e3 :

x 3−ln x

0 +

e3 −

+∝

2
2-1 Parité

Etude de fonctions

• f est paire si D f est symétrique par rapport à 0 et si f (−x) = f (x) pour tout x ∈ D f . La courbe dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. • f est impaire si D f est symétrique par rapport à 0 et si f (−x)= − f (x) pour tout x ∈ D f . La courbe dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l’origine.

2-2

Axe et centre de symétrie

• C f admet la droite d’équation x = a comme axe de symétrie dans un repère orthogonal si pour tout h tel que a ± h ∈ D f , f (a + h) = f (a − h). • C f admet le point Ω (a, b) comme centre de symétrie dans un repère orthogonal si pour tout h tel que a ±h ∈ D f , f (a + h) + f (a − h) = b. 2

2-3

Limites
+∞ −∞ ±∞ 0

Les deux cas de forme indéterminée sont : ( ) + ( ) ;

( )×( )

Polynômes et fonctions rationnelles en ±∞ : on met la plus grande puisssance de x en facteur en haut et en bas, puis on simplifie. Pour les quotients (autres que les fonctions rationnelles en ±∞), on «sépare la fraction» : ( ) 1 = ( )× ( ) ( )

2-4Asymptotes
x→a

• Si lim f (x) = ±∞ alors la droite verticale d’équation x = a est asymptote à C f . • Si lim f (x) = b alors la droite horizontale d’équation y = b est asymptote à C f .
x→±∞ x→±∞

• Si lim f (x) − (ax + b) = 0 alors la droite d’équation y = ax + b est asymptote oblique à C f . • De façon générale, si lim f (x) − g(x) = 0 alors les courbes C f et Cg sont asymptotes.
x→±∞

• Pourdéterminer la position relative entre deux courbes C f et Cg , on étudie le signe de f (x) − g(x) (méthode aussi valable pour les asymptotes horizontales et obliques) : - si f (x) − g(x) 0 pour tout x d’un intervalle I, alors C f est située au dessus de Cg sur I. - si f (x) − g(x) 0 pour tout x d’un intervalle I, alors C f est située en dessous de Cg sur I.
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2-5

Tangente

• Si f est dérivable en a alors une équation de la tangente à C f au point d’abscisse a est : y = f (a) + f (a)(x − a) • Pour déterminer les abscisses des éventuels points de C f où la tangente est parallèle à une certaine droite d’équation y = mx + p, il suffit de résoudre l’équation f (x) = m. (les coefficients directeurs devant être égaux)

2-6...
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