Soutien TS fiche 09 : complexes 2
I) Argument et forme trigonométrique
1. Mettre sous forme trigonométrique les nombres :
a) z = − 2 − i 2

b) z = 3 i

c) z = −2

d) z = −2 + 2i 3

e) z = − 3 + 3 i
2 2

2. Construire à la règle et au compas les points A, B, C, D définis par : z A = 3 et arg z A = π ; z B = 2 et arg z B = π ; zC = 4 et arg zC = − π ; Re( z D ) = −4 et arg z D = 3π
4
3
6
4

II) Forme exponentielle
1. Mettre sous forme exponentielle : m = 3 +i 3 n = 6 −i 2 p=i 5 q=− 3 r = −7 i
2. a) Mettre les nombres z1 = 2 − 2i et z2 = 3 + i sous forme exponentielle.
b) En déduire la forme exponentielle de z12 , z26 , z1 z2 , z12 z23 ,

z4 z1 et 1 3 . z2 z2

Lesquels de ces nombres sont réels ? imaginaires purs ?
c) Pour quelles valeurs de l'entier n le nombre ( z2 ) n est-il un réel positif ? un imaginaire pur ? π i
3. a) On considère le nombre complexe z = e 3 . Donner la forme exponentielle de z , − z , iz et 1 . z iπ
b) Reprendre les mêmes questions pour z = 3 e 3 .

c) Généraliser au cas où z = reiθ .

III) Equations et solutions sous forme exponentielle
1. Résoudre dans C les équations suivantes et mettre les solutions sous forme exponentielle :
a) z ² + 12 = 0
b) z ² − 2 2 z + 8 = 0
c) z 4 + 5 z 2 + 4 = 0
2. On considère l'équation (E) : z 3 + (2 + 2i ) z 2 + (2 + 4i ) z + 4i = 0 .
a) Vérifier que −2i est une solution de (E).
b) Déterminer trois complexes a, b, c tels que z 3 + (2 + 2i ) z 2 + (2 + 4i ) z + 4i = ( z + 2i )( az 2 + bz + c ) .
c) Résoudre (E) et mettre chacune de ses solutions sous forme exponentielle.

IV) Applications géométriques
1. Soient A, B, C trois points d'affixes respectives a = 1 + i , b = 2 − i , c = 6 + i .
Calculer les distances AB, AC et BC. Quelle est la nature du triangle ABC ?
2. Soient A, B, C d'affixes respectives a = 1 − 2i , b = −2 + 4i , c = 5 . Déterminer l'angle (AB, AC) .
3. Dans le plan complexe, A, B, C et D ont pour affixes : zA = − i , zB = 3 , zC = 2