Finance stochastique call putt exercice

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Finance stochastique 1 Exercice 3

Exercice sur Black and Scholes
On considère deux actifs financiers :
* Un titre risque dSt=0,09Stdt+0,2 Stdw(t)
* Un titre non risque dS0t=0,04 S0t dtLe cours initial est de 150 euros.
a) Calculer la probabilité pour que le cours réel du titre à ce moment dépasse ce montant maximum.
On veut déterminer la probabilité que le prix de l’actifsoit supérieur à 150*1,15 dans 2 ans.
Or la solution de l’équation : dSt=0,09Stdt+0,2 Stdw(t)
Est égale à St=S0*e0,09t*e0,2 wt-0,02t avec t=2
Donc nous devons déterminer : PS2≥172,5=P(e0,18-0,04*e0,2w2≥ 172,5150)
=Pe0,14+0,2w2≥1,15=P(0,14+0,2w2≥0,139762 )
=Pw2≥ -0,0011903= Pw2≤0,0011903
=Φ 0,0011903;μ=0;σ=2=0,500336
b) Calculer en t=0 le prix de l’option pour couvrir le risque.
Ilsuffit de calculer le prix d’un call de 172,5 € sur l’actif dans 2 ans.
CS, 0, 2=S(0)Φd1-Ke-rT-tΦ(d2)
où σ=0,2;S0=150;K=172,5€;r=4%;T=2
et d1= lnS(t)K+r+σ22*(T-t)σT-t, d2= lnS(t)K+r-σ22*(T-t)σT-t
CS,0, 2=13,15409
c) Déterminer le prix de l’option en t=1 si le cours est passé à 120€ ou 170€.
Si 120€ : Le prix du call est de 0,6311€.
Si 170€ : Le prix du call est de 15,611€.
Les différencesde call sont logiques, en effet la probabilité de passer en 1 an de 120 à plus de 172,5 euros est très faible contrairement à celle où l’actif a atteint 170 euros au bout de la première année.
Auniveau du rendement des options ; dans le premier scénario (down), le rendement de l’option est de -95,2 % et celui du scénario up est de 18,7%. En ce qui concerne le rendement du sous-jacent, lescénario down donne un rendement de -20% et celui up, un rendement de 13%.
Cet illustration montre bien que la volatilité du rendement des options est beaucoup plus grande que celle de leur sous-jacent.Une option est toujours plus risquée que son sous-jacent.
d) Quel est en t=0 et en t=1 dans les deux scénarios du point c) la stratégie de hedging à mettre en place par le vendeur de l’option...
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