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Utilisation des éléments finis pour le pricing d'options

Semaine « éléments finis », ENSMP 29 novembre 2006 Jean-Didier Garaud (ONERA, DMSE/LCME)

Plan

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Actions et produits dérivés Modèle de Black-Scholes
Hypothèses & équations

Calcul d'Itō
EDP de Black-Scholes

Différentes méthodes de résolution Options « panier »

Sous-jacents
Exemples de sous-jacents:
Actions Obligations, PEL Indices (ex: CAC 40) Devises (ex: $ vs. €)

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Sous-jacents
Exemples de sous-jacents:
Actions Obligations, PEL Indices (ex: CAC 40) Devises (ex: $ vs. €)
105 104.5 104 103.5 103 102.5 102 101.5 101 100.5 100 99.5 0 50 100 150 200 250 300 350 400

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S(t)

Temps (jours)

Modèle de Black-Scholes Modèle de Black-Scholes (1973)
(prix Nobel en 97, avec Merton)

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105 104.5 104 103.5 103 102.5 102 101.5 101 100.5 100 99.5 0 50 100 150 200 250 300 350 400

St valeur du sous-jacent  dérive

Temps (jours)  volatilité Wt processus de Wiener (Brownien)

S(t)

Modèle de Black-Scholes

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Hypothèses du modèle :  et µ connus et constants pas de frais d'achat / vente pas de dividendes arbitrage impossible

Produits dérivés

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Call européen droit d'acheter un sous-jacent à date T (maturité) au prix K (strike) Put européen droit de vendre un sous-jacent à date T au prix K

Produits dérivés

8

Call européen protection contre montée de l'action transfert du risque pari sur une hausse perte limitée, gain illimité ...

9

Objectif : déterminer la valeur d'une option

Valeur du produit dérivé

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Valeur : C(t, T, St , K)

Valeur d'un call

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Valeur : C(t, T, St , K) À maturité : C(t=T) = (ST – K)+
Payoff d'un call (en T)
100 90 80 70 60
Call

C

50 40 30 20 10 0 0 25 50 75 100 125 150 175 200

S

Valeur d'un put

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Valeur : P(t, T, St , K) À maturité : P(t=T) = (K – ST)+
Payoff d'un put (en T)
100 90 80 70 60
Put

P

50 40 30 20 10 0 0 25 50 75 100 125 150 175 200

S