Externat Notre Dame

Devoir Maison n°3 (1ere ES/L)

pour Vendredi 4 novembre

Proposition de corrigé

On lance un dé.
Si le 6 sort, le lièvre gagne.
Sinon, la tortue avance d’une case.
On continue le jeu jusqu’à ce qu’il y ait un gagnant.
Quelle est la situation la plus enviable : celle du lièvre ou celle de la tortue ?

Deux approches sont possibles pour traiter ce problème :
– approche par un modèle probabiliste ;
– approche par des simulations donnant lieu à des statistiques.
On va traiter successivement ces deux approches et voir si elles donnent le même résultat. Approche probabiliste
Dans ce modèle, on supposera que le dé est bien équilibré : il a une chance sur 6 de tomber sur le 6.
On note S l’évènement : « le 6 sort ».
1
¯ = 5 , étant entendu que S¯ signifie que le 1, le 2, le 3, le 4
On a : p(S) = et p(S)
6
6 ou le 5 sont sortis.
On va être amené à répéter ou pas le lancer de dé, selon le résultat : si le 6 sort, le lièvre a gagné ; sinon, il faut relancer le dé.
Cette situation peut être schématisée par l’arbre pondéré suivant :

La probabilité la plus facile à calculer est celle donnant la victoire de la tortue : il faut que quatre fois de suite, on ne tombe pas sur 6.
La probabilité que cela se passe est :
¯ S;
¯ S;
¯ S)
¯ = 5 × 5 × 5 × 5 ≈ 0, 482 ≈ 48, 2% p(S; 6 6 6 6
La probabilité de l’évènement contraire (la victoire du lièvre) est donc environ égale à 51,8%.

Conclusion : la situation du lièvre est légèrement plus favorable que celle de la tortue.

Approche statistique
On va simuler un grand nombre de lancers de dés par l’utilisation de
=1+ENT(6*ALEA())
Comme il serait assez délicat de traiter le cas d’un premier lancer donnant un résultat, conditionnant un second lancer (selon que l’on tombe sur 6 ou pas), on peut faire le choix de simuler 4 lancers de suite dans toutes les simulations.
Le lièvre sera vainqueur, si au moins un des résultats de lancer de dé est égal à 6.
On va utiliser la