Exercice 1 : Le flocon de Koch 1. Etude du nombre de côtés 1) C 1 est le nombre de segments à la première étape donc C 1 = 3 . D’après la figure du livre on a C 2 = 12 et C 3 = 48 . A chaque itération chaque segment est transformé en 4 segments par conséquent on a : C 4 = 4×48 = 192 .

2. Etude du périmètre

2) A chaque itération chaque segment est transformé en 4 segments par conséquent on a, pour tout entier n : C n+1 = 4×C n . La suite (C n )n 1 est donc géométrique de raison 4. On a ainsi, pour tour entier n : C n = C 1 ×(4)n−1 = 3×4n−1 .

1) Puisque la transformation transforme 1 segment en 4 segments de même longueur et que les 3 segments de départ sont de même longueur les segments ont tous la même longueur à l’étape n. On peut donc parler de la longueur d’ un segment à l’étape n . 1 2) La transformation transforme un segment en 4 segments de longueur du segment originel. 3 1 Par conséquent on a, pour tout entier n : u n+1 = ×u n . 3 1 La suite (u n )n 1 est ainsi géométrique de raison . 3 1 n−1 1 1 On peut donc écrire u n = u 1 × = 1× n−1 = n−1 . 3 3 3 3) A l’étape n le flocon est composé de C n segments de longueurs u n . 1 4 n−1 . On obtient donc P n = C n ×u n = 3×4n−1 × n−1 = 3× 3 3 Ce qui est bien la formule demandée. 4) On nous demande de déterminer, si elle existe, lim P n . n→+∞ Or (P n ) est une suite géométrique de raison supérieure à 1 et de premier terme positif par conséquent lim P n = +∞ . n→+∞ 3. Etude de l’aire 1) Pour calculer A 1 il nous faut déterminer la hauteur h dans le triange équilatéral de côté 1. Cette hauteur est aussi médiatrice dans ce triangle car il est équilatéral. On peut donc appliquer le 1 2 2 1 3 théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ainsi formé : 12 = +h puis h 2 = 1− = et 2 4 4 3 . enfin h = 2 3 1 ×h = . On a ainsi A 1 = 2 4
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Année 2007-2008

1ère S SVT

2) Par proportionnalité un triangle équilatéral de côté a a une hauteur de longueur comme aire a× a 2 3 = a2×

a 3 et donc 2