EXO 1 DM
1. f′(x)=e2x+2(x−1)e2x−1=(2x–1)e2x–1 f′(0)=−1–1=−2 limx→+∞(2×−1)=+∞ limx→+∞e2x=+∞
Donc limx→+∞f′(x)=+∞ 2. f»(x)=2e2x+2(2×−1)e2x =4xe2x. 3. La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent, pour tout x≥0 on f»(x)≥0.
Cela signifie donc que la fonction est f′ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur [0;+∞[.
De plus f′(0)=−1–1=−2 et limx→+∞f′(x)=∞. 0∈]−2;+∞[.
D’après le théorème de la bijection (ou le corollaire des valeurs intermédiaires), l’équation f′(x)=0 possède une unique solution x0. 4. a. On en déduit donc que :
– sur [0;x0] ,f′(x)≤0 donc f est décroissante
– sur [x0;+∞[, f′(x)≥0 donc f est croissante f(0)=−2. Or f est décroissante sur [0,x0].
Par conséquent, pour tout x∈[0,x0], f(x)0 Sur l’intervalle [x0;+∞[, f est continue et strictement croissante. f(x0)0. 0∈[f(x0);f(2)]
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire des valeurs intermédiaires), l’équation f(x)=0 admet donc une unique solution sur [x0;+∞[. D’après la question précédente, on sait que, pour tout x∈[0;x0], f(x)0.
On a un+1=f(un)=une−un.
La fonction exponentielle est toujours strictement positive.
Un produit de nombre strictement positif est strictement positif.
Par conséquent un+1>0.
$\quad
Conclusion : La propriété est vraie au rang 0. En la supposant vraie au rang n, elle est encore vraie au rang suivant.
Par conséquent, pour tout entier naturel n on a un>0.

3. un+1–un =un-u_n–un =un(e−un–1).
D’après la question précédente, un>0 donc