Fonction Exponentielle
A. Définition et propriétés algébriques
On considère l'équation différentielle y' = y avec y(0)=1 et on admet qu'elle a au moins une solution f, c'est à dire qu'il existe au moins une fonction f dérivable sur
, telle que : f ' = f et f (0) = 1.
1- Propriétés préliminaires
a) Une fonction f dérivable sur
, telle que f ' = f et f (0) = 1 ne s'annule pas.
Démonstration
Soit h la fonction définie par h(x) = f (x).f (-x). Cette fonction est dérivable sur
, sa dérivée est h' (x) = f '(x) × f (-x) + f(x) × f '(-x) × (-1); comme f '(x) = f (x) et f '(-x) = f (-x), on trouve h'(x) = 0. La fonction h est donc constante, et pour tout réel x, h(x) = h(0) = f (0) × f (0) = 1.
Ainsi, pour tout réel x, f (x).f (-x) = 1, ce qui montre que f (x) ne peut pas être égal à 0.
b) Il n'existe qu'une seule fonction f dérivable sur
, telle que f ' = f et f (0) = 1.
Démonstration
Supposons que f1 et f2 soient deux fonctions vérifiant les conditions f ' = f et f (0) = 1.
Soit h la fonction définie par h x = f 1 x  f 2  x
; cette fonction est bien définie sur
car, d'après la propriété précédente, f2(x) ne peut pas s'annuler.
La fonction h est dérivable et h '  x= f 1 '  x . f 2  x f 2 '  x . f 1 x 
 f 2  x 2 . Mais comme f1'(x)=f1(x) et f2'(x)=f2(x), on a h'(x)=0 et la fonction h est constante.
Pour tout réel x, h(x) = h(0) = f 1 0 f 2 0 
=
1
1
= 1. Ainsi f 1  x  f 2  x 
=1 , et f1(x) = f2(x), ce qui montre qu'il n'existe qu'une seule fonction f dérivable sur
, telle que f ' = f et f (0) = 1.
2- Définition
L'unique fonction f, dérivable sur
, telle que f ' = f et f (0) = 1 est appelée la fonction exponentielle; elle est notée exp, l'image d'un réel x sera notée exp(x) ou exp x.
Conséquences immédiates
1. exp(0) = 1
2. exp'(x) = exp(x)
3. Pour toute fonction dérivable u, exp(u) est dérivable et [exp(u)]' = exp(u) × u'.
4. Pour tout réel x, exp(x)  0.
3- Propriété