Fonction exponentielle

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 9 (2249 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 20 avril 2010
Lire le document complet
Aperçu du document
Fonction Exponentielle
A. Définition et propriétés algébriques
On considère l'équation différentielle y' = y avec y(0)=1 et on admet qu'elle a au moins une
solution f, c'est à dire qu'il existe au moins une fonction f dérivable sur , telle que :
f ' = f et f (0) = 1.
1- Propriétés préliminaires
a) Une fonction f dérivable sur , telle que f ' = f et f (0) = 1 ne s'annule pas.Démonstration
Soit h la fonction définie par h(x) = f (x).f (-x). Cette fonction est dérivable sur , sa dérivée est
h' (x) = f '(x) × f (-x) + f(x) × f '(-x) × (-1);
comme f '(x) = f (x) et f '(-x) = f (-x), on trouve h'(x) = 0. La fonction h est donc constante, et
pour tout réel x, h(x) = h(0) = f (0) × f (0) = 1.
Ainsi, pour tout réel x, f (x).f (-x) = 1, ce qui montre que f (x) ne peut pas êtreégal à 0.
b) Il n'existe qu'une seule fonction f dérivable sur , telle que f ' = f et f (0) = 1.
Démonstration
Supposons que f1 et f2 soient deux fonctions vérifiant les conditions f ' = f et f (0) = 1.
Soit h la fonction définie par h x =
f 1 x 
f 2  x
; cette fonction est bien définie sur  car, d'après la
propriété précédente, f2(x) ne peut pas s'annuler.
La fonction h estdérivable et h '  x=
f 1 '  x . f 2  x f 2 '  x . f 1 x 
 f 2  x 2 . Mais comme f1'(x)=f1(x) et
f2'(x)=f2(x), on a h'(x)=0 et la fonction h est constante.
Pour tout réel x, h(x) = h(0) =
f 1 0
f 2 0 
=
1
1
= 1. Ainsi
f 1  x 
f 2  x 
=1 , et f1(x) = f2(x), ce qui montre
qu'il n'existe qu'une seule fonction f dérivable sur , telle que f ' = f et f (0) = 1.2- Définition
L'unique fonction f, dérivable sur , telle que f ' = f et f (0) = 1 est appelée la fonction
exponentielle; elle est notée exp, l'image d'un réel x sera notée exp(x) ou exp x.
Conséquences immédiates
1. exp(0) = 1
2. exp'(x) = exp(x)
3. Pour toute fonction dérivable u, exp(u) est dérivable et [exp(u)]' = exp(u) × u'.
4. Pour tout réel x, exp(x)  0.
3- Propriétécaractéristique et conséquences
Pour tous réels a et b, exp(a + b) = exp(a) × exp(b).
La fonction exponentielle transforme les sommes en produits.
KB 1 sur 7
Démonstration
Soit g x =
exp ax 
exp x
. On a g'  x=
expax ×exp x exp ax ×exp  x
exp  x2
=0 .
La fonction g est donc constante et pour tout x, g(x) = g(0) = exp(a).
D'où,
expax
exp x 
=expa , soit exp(a +x) = exp(a) × exp(x).
En prenant x=b, on retrouve la formule à démontrer.
Conséquences
Pour tout réel b, expb=
1
exp b
.
On remplace a par -b dans la formule caractéristique.
Quels que soient les réels a et b, exp ab=
expa
expb
On remplace b par -b dans la formule caractéristique.
Pour tout réel a et pour tout entier relatif n, exp na=expan .
Pour n > 0, onremplace na par a + a + a + ... + a et on applique la formule
caractéristique.
Pour n < 0, on pose p=-n et on revient dans le cas précédent.
Pour tout réel a, exp(a) > 0.
Il suffit de remarquer que exp a=exp a
22
et qu'un carré est toujours
positif ou nul. Comme exp(a)  0, on trouve bien exp(a) > 0
B. Utilisation du nombre e
Par définition, on appelle e le nombre égal à exp(1).
1-Approximation de e par la méthode d'Euler
On va construire une suite de points Mn(xn, yn) tels que les yn soient des approximations de
exp(xn).
Pour choisir les valeurs de xn on utilise un pas h et on part de 0. La suite xn sera donc une suite
arithmétique de raison h et de premier terme x0 = 0, et on aura xn = nh.
Pour définir la suite yn on utilise une approximation affine :
exp(xn+1) =exp(xn + h)
exp(xn) + h.exp(xn) = exp(xn)(1 + h).
La méthode d'Euler consiste à confondre yn et les approximations de exp(xn). On obtient ainsi
la suite yn définie par y0 = 1 et yn+1 = (1 + h)yn.
La suite yn est donc une suite géométrique de raison 1+h et de premier terme y0 = 1. On en
déduit que yn = (1 + h)n.
En se souvenant que yn est une approximation de exp(xn) et que xn = nh, on...
tracking img