La «fonction inverse»
1 Définition : la fonction inverse est la fonction x SQQT -- définie sur x
Remarque :
*

6

*.

4

=

\ { 0 } = ]− ∞, 0 [ ∪ ]0, +∞ [ désigne l’ensemble de f -6 -4 -2

2

1 tous les nombres sauf zéro. Retenir : ---------- existe lorsque [ … ] ≠ 0 . […]

1 x0
0

M

x

2

4

6

Propriétés :
•

Tableau de valeurs
2 5 10
1 x

-2

vx = 1.4

x −10 −5 −2 −1 −0,5−0,1 −0,01 0 0,01 0,1 0,5 1 1⁄x
•

=0.71

-4

-6

La courbe de x SQQT 1 ⁄ x est une hyperbole. C’est une courbe en deux parties qui ne coupe pas les axes mais s’en approche indéfiniment. x SQQT 1 ⁄ x est strictement décroissante sur ]− ∞, 0 [ et sur ]0 ; +∞ [ : pour a et b de même signe, si a < b alors 1 > 1 (l’ordre change) -- -- a b 1 ---------- est du même signe que [ … ] […] x −∞
0
a = 0.4 b = 3.4

•

1 a 1 x f M

•

1 b

+∞

a x

b

Résumé

variations de 1 ⁄ x signe de 1 ⁄ x

−
*

+
1- -: − 2 < 4 mais ----- < 1 −2 4
1 -x

Remarques : 1 1 - Attention : x SQQT -- n’est pas décroissante sur x k 1 x

2 - si k ≠ 0 alors 1 ⁄ x = k ⇔ x = 1 ⁄ k : la fonction inverse fait donc partie des rares fonctions pour lesquelles l’image d’un nombre est aussi son seul antécédent. 0 n’admet pas d’antécédent : l’équation 1 ⁄ x = 0 n’a pas de solution. 1 1 1 3 - Si f(x) = -- et a ≠ 0 on a f(− a) = ----- = − -- = − f(a) . x −a a La courbe est symétrique par rapport à l’origine x =-

1 x

1 k

-x

Les fonctions homographiques
Définition : on appelle fonction homographique toute fonction f telle que ax + b f(x) peut s’écrire sous la forme -------------- avec c ≠ 0 et ad − bc ≠ 0 . cx + d Propriété :
• • • b = -2 c = -2

a=3
4

d=5

2

analogues à celles de la fonction inverse :
-6

0

f est définie sur

\ { i } (valeur interdite i = − d ⁄ c )

i

-4

-2

0

2

4

6

8

f
-2

f est monotone sur ]− ∞, i [ et sur ]i ; +∞ [ sa courbe est une hyperbole
Remarques : 1 - Si ad − bc = 0