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Fonction polynome

861 mots 4 pages
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Chapitre 1 : Fonctions polynômes
1. Les fonctions polynômes du 2nd degré
Définition : Une fonction polynôme du second degré est une fonction �� définie sur ℝ par : �� �� = ���� 2 + ���� + �� �������� ��, �� ���� �� ������ ��é������ ���� �� ≠ 0 a) Forme canonique Il s’agit de factoriser la fonction polynôme �� �� ���� 2 + ���� + �� = �� �� 2 + �� + �� �� 2 �� �� 2 �� = �� �� + − 2+ 2�� 4�� �� = �� �� �� + 2��
2

�� 2 − 4���� − 4��2 Rappel : �� + �� 2 = �� 2 + 2���� + ��2 �� 2 − �� = �� − �� �� + ��

On pose maintenant : �� = ���� − ������. On appelle Δ (se lit : « delta ») le discriminant D’où : ���� + ���� + �� = ��  Si Δ > 0 ���� + ���� + �� = ��
2 2 2

�� �� + 2��

−

Δ 4��2
2

�� �� + 2��

−

Δ 4��2 �� + �� Δ + 2�� 2��

= �� �� + = �� �� −

�� Δ − 2�� 2��

−�� + Δ −�� − Δ �� − 2�� 2�� = �� �� − ��1 �� − ��2 Où ��1 =  −�� + Δ −�� − Δ ���� ��2 = 2�� 2��

Si Δ = 0 �� 2 ���� + ���� + �� = �� �� + 2�� = �� �� − ��0 2 Où −�� ��0 = 2��
2

Ne se factorise pas !
2



Si Δ < Δ0 ���� 2 + ���� + �� = �� �� + �� 2�� − Δ 4��2

b) Résolution de ���� 2 + ���� + �� = 0  Si Δ = �� 2 − 4���� > 0 ���� 2 + ���� + �� = 0 ⟺ �� �� − ��1 �� − ��2 = 0 ⟺ �� = ��1 ���� �� = ��2 L’équation a donc deux solutions réelles distinctes : ��1 =  −�� + Δ −�� − Δ ���� ��2 = 2�� 2��
2

Si Δ = �� 2 − 4���� = 0 ���� 2 + ���� + �� = 0 ⟺ �� �� − ��0

= 0 ⟺ �� = ��0

L’équation a une solution réelle : −�� ��0 = 2��  Si Δ = �� 2 − 4���� < 0 ���� + ���� + �� = ��
2 2

�� �� + 2��

−

Δ = �� ��2 + �� 2 4��2

L’équation n’a pas de solution réelle. Exemples :  Résoudre l’équation : �� 2 + �� − 2 = 0 Δ = �� 2 − 4���� = 12 − 4 × 1 × −2 = 1 + 8 = 9 > 0 L’équation a deux solutions réelles distinctes : −1 + 9 −1 + 3 2 −1 − 9 −1 − 3 −4 ��1 = = = = 1 ���� ��2 = = = = −2 2 2 2 2 2 2 1 et −2 sont racines du polynôme �� 2 − 3�� + 2 Factorisation : �� 2 − 3�� + 2 = �� �� − ��1 �� − ��2 = �� − 1 �� + 2 Vérification : �� − 1 �� + 2 = �� 2 − �� + 2�� − 2 = �� 2

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