Fonction tangente

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ÉTUDE DE LA FONCTION
TANGENTE .
Le but de ce devoir est d’étudier la fonction tangente et d’en établir quelques propriétés.
1. Résoudre, sur ] − ; ], l’équation : cos x = 0.
En déduiretoutes les solutions, sur R, de cette équation.
2. On considère la fonction tangente, notée tan, et définie par :
tan x = sin x
cos x
pour x 2 D où D = R \

2
+k, k 2 Z

On note C sacourbe représentative dans un repère orthogonal (O; #ı ; #| ).
a. Étudier la parité de cette fonction.
b. Démontrer que la fonction tangente est -périodique.
c. Expliquer pourquoi on peut secontenter d’étudier la fonction tangente sur l’intervalle
I =

0,
2

.
3. Étudier les limites de la fonction tangente en 0+ et en 
2

.
En déduire que la courbe C admet une asymptoteD dont on précisera la nature et l’équation.
4. Compléter le tableau suivant avec les valeurs exactes :
x 0 
6 4
3
tan x
5. Montrer que, pour tout x 2 I :
tan0(x) = 1
cos2 x
= 1 + tan2x
En déduire le tableau de variations de la fonction tangente sur l’intervalle I.
6. a. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0.
b. Etudier les variationsde la fonction g définie sur I par g(x) = tan x−x et en déduire
que pour tout x 2 I, on a :
tan x > x.
c. En déduire, la position relative de la courbe C par rapport à sa tangente T.
7.Tracer, très soigneusement, les droites D et T puis la courbe C . (On se placera entre les
bornes−2 et 2)
8. On rappelle que pour tous réels a et b, on a les formules d’additions suivantes :
cos(a+ b) =cos a cos b − sin a sin b
sin(a + b) =sin a cos b + sin b cos a
En déduire une formule liant tan(a + b) à tan a et tan b. (Pour des réels a et b tels que
a 2 D, b 2 D et a + b 2 D)
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Cours de MrBIZ Terminales S1 Octobre 2009
9. Démontrer que pour tout a 2

0,
2

, on a :
tan a = 1 − cos(2a)
sin(2a)
En déduire la valeur exacte de tan 
8 et de tan ...
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