DM

ÉTUDE DE LA FONCTION TANGENTE
Le but de ce devoir est d'étudier la fonction tangente et d'en établir quelques propriétés.

TS

1. Résoudre, sur ]-p ; p], l'équation :

cos x = 0

En déduire toutes les solutions, sur , de cette équation. 2. On considère la fonction tangente, notée tan, et définie par : sin x p pour x Î D où D =  \ { + kp, k Î } cos x 2 r r On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O, i , j ) tan x = a. Étudier la parité de cette fonction. b. Démontrer que la fonction tangente est p-périodique. c. Expliquer pourquoi on peut se contenter d'étudier la fonction tangente sur l'intervalle I = [0 ; 3. Étudier les limites de la fonction tangente en 0+ et en p. 2 p [. 2

En déduire que la courbe C admet une asymptote D dont on précisera la nature et l'équation. 4. Compléter le tableau suivant : x tan x (On donnera les valeurs exactes) 0 p 6 p 4 p 3

5. Montrer que, pour tout x Î I : tan' x = 1 = 1 + tan2 x cos2 x

En déduire le tableau de variations de la fonction tangente sur l'intervalle I. 6. a. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0. b. Démontrer que pour tout x Î I, on a : tan x  x
(On pourra étudier les variations de la fonction g définie sur I par g(x) = tan x - x)

c. En déduire, la position relative de la courbe C par rapport à sa tangente T. 7. Tracer, très soigneusement, les droites D et T puis la courbe C. (On se placera entre les bornes -2p et 2p) 8. On rappelle que pour tous réels a et b, on a les formules d'additions suivantes : cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b En déduire une formule liant tan(a + b) à tan a et tan b. (Pour des réels a et b tels que a Î D, b Î D et a + b Î D) 9. Démontrer que pour tout a Î ]0 ; p [, on a : 2 tan a = En déduire la valeur exacte de tan p p et de tan . 8 12

1 - cos(2a) sin(2a)

TS DM : fonction tangente

DM 1. On a : D'où :

ÉTUDE DE LA FONCTION TANGENTE : CORRIGÉ S]-p; p]