Fonction

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  • Publié le : 15 septembre 2010
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Centre des classes pr´paratoires e ———— AGADIR ———— MPSI 2 ————

Limites et continuit´ e

Exercice 1 Exercice 7 En ulilisant la d´finition de la limite, montrer que la fonction qui ` x associe x3Montrer que si une fonction f continue sur R est constante sur Q, alors f est e a est continue en tout r´el. e constante sur R. Exercice 2 Soit f :[a, +∞[ −→ R Exercice 8 e une fonction continue, onsuppose que : lim f (x) existe Soit f : R −→ R une application continue v´rifiant :
x→+∞

dans R. Montrer que f est born´e sur [a, +∞[ . e Exercice 3 1. Donner des exemples de fonctions p´riodiquesde p´riodes 2π, π et 1 e e 2. Trouver toutes les applications f : R p´riodiques. e

∀(x, y) ∈ R2 , f (x + y) = f (x) + f (y). Donner la forme de f .

Exercice 9 e −→ R qui sont monotones et Soit f: R −→ R une application bijective v´rifiant : ∀(x, y) ∈ R2 , f (x + y) = f (x) + f (y) , f (x.y) = f (x).f (y). 1. Montrer que :∀r ∈ Q , f (r) = r . 2. Montrer que :∀x ∈ R , x > 0 =⇒ f (x) > 0, end´duire que f est strictement e croissante. 3. Montrer que :f = idR .

Exercice 4 Soient E une partie non vide de R et f : E −→ E une application strictement croissante . Montrer que :∀ x ∈ E, ((f ◦ f)(x) = x ⇐⇒ f (x) = x).

Exercice 10 Exercice 5 Soient f et g deux fonctions num´riques d´finies et continues sur un e e Montrer qu’une application f : R −→ R p´riodique et admettant une limite finiemˆme intervalle [a, b] de R, on suppose que :∀x ∈ [a, b] , f (x) > g(x).Montrer e e en +∞ est constante . qu’il existe un r´el k > 0 telque : e En d´duire que la fonction sin n’a pas de limite en +∞ . e∀x ∈ [a, b] , f (x) ≥ g(x) + k. Exercice 6 Soit I un intervalle de R ; f :I−→ Z une fonction continue sur I, montrer que f est constante. Exercice 11 Soit f une fonction d´finie et continue sur I= [0,1] et ϕ d´finie sur I par e e ϕ(x) = sup f (t).Montrer que ϕ est croissante et continue.
t∈[0,x]

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Exercice 12 Etudier la continuit´ de : e 2) g : R −→ R , g(x) = x2 si x ∈ Q . x si x ∈ Q...
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