Fonction exponentielle

On a établi en activités deux implications réciproques entre deux propriétés (P) et (Q) pour une fonction f, non nulle définie et dérivable sur R. On se reportera pour les démonstrations du chapitre à celles effectuées en activités.

(P) : f vérifie : f ‘= kf et f(0)= 1 (Q) : pour tous réels x et y : f(x + y) = f(x)[pic] f(y)

On a en outre établi que le réel k en question n’est autre que : f’(0)

L’existence de fonctions f vérifiant ces propriétés est admise.
On s’intéresse au cas où k = 1 pour lequel l’utilisation de la méthode d’Euler nous persuade qu’une telle fonction existe.

I La fonction exponentielle (de base e)

1° Théorème 1
Il existe une unique fonction f non nulle, définie et dérivable sur R telle que : f ‘= f et f(0)= 1.

Cette fonction est la fonction exponentielle notée : exp

On a donc : exp’ = exp et exp(0) = 1

Remarques : • La fonction exp est une fonction non algébrique comme sin et cos.

• exp(0)= 1 donc exp’(0) = 1.

La tangente à (Cf) au point (0 ; 1) a pour équation réduite : y = x + 1

2° Propriétés 1

Pour tout réel x et y : exp(x + y) = [pic] (1) exp (-x) = [pic] (2) exp (x - y) = [pic] (3) exp (nx) = [pic] pour n [pic]N (4)

Idée de démonstration de : on pose f = exp

1) et (2) : On considère la fonction g : [pic] On montre que : g’(x) = 0 (en utilisant f’ = kf ) donc que g est constante égale à exp(y) Pour y = 0 on obtient (2) puis (1) pour y quelconque en utilisant (2).

(3) conséquence de (1) et (2)

(4) par récurrence

Remarque : si p [pic]Z\N : p 0 pour tout réel x.

Conséquence : exp x < exp y équivaut à : x < y (M1) soit ex < ey équivaut à : x < y

• exp ‘ = exp donc la dérivée étant strictement positive, exp est strictement croissante sur R.

Limites
En + [pic] : On travaille par comparaison (pas d’autre possibilité).

Montrons que : exp(x) [pic] x + 1 pour tout réel x. Considérons la fonction g définie