CHAPITRE 1

Fonctions analytiques
Les principaux résultats à retenir : soit




f

est

analytique

sur

U

U

un ouvert de

si et seulement si

f

C

et

f : U → C.

est développable en série entière

au voisinage de chaque point de U .
Théorème des zéros isolés : les zéros d'une fonction analytique f sur un domaine U sont isolés ou bien la fonction f est nulle.
Théorème du prolongement analytique : deux fonctions analytiques qui coïncident sur un sous-ensemble non discret (suite convergente, segment, voisinage d'un point...) d'un

domaine U

sont égales sur

U.

 Toute série entière est analytique dans son disque de convergence.
 Toute fonction analytique sur

U

est localement la somme de sa série de Taylor.

1.1. Séries entières, rappels
1.1.1. Disque de convergence. soit S (z) = n≥0 an z n une série entière. Il existe un réel ρS ≥ 0, appelé rayon de convergence de la série, et vériant
 S est absolument convergente dans le disque DρS
 S diverge (non bornée) en dehors du disque fermé DρS
 On ne peut rien dire sur le cercle CρS .
 Si ρS > 0, alors pour tout réel 0 ≤ r < ρs la série entière S converge normalement sur Dr .
Proposition 1.1.1.

(Hadamard ) le rayon de convergence d'une série entière S (z) = an z n est donné par : n≥0 Theorem 1.1.2.

1 ρS 1

lim sup |an | n

=

n→∞

Souvent plus commode, on a la règle de d'Alembert :
Theorem 1.1.3.

limite existe, alors

(d'Alembert) Soit une série entière S (z) = ρS =

lim

n→∞

n≥0 an

0≤p≤n de B,

et

ap bn−p

B =

n≥0 bn .

soient les séries

, et en cas de convergence absolue de


AB

numériques cn =

Le terme général de la série produit est

la série produit converge vers le produit

(1.1.1)

an z n . Si la

an an+1 1.1.2. Opérations sur les séries entières.
A =

n≥0

AB

et on a :



= 



an   n≥0  ap bn−p 

 n≥0 bn  n≥0 
=