Formulaire analyse fonctionnelle
850 mots
4 pages
eTI1"éo~è~e" (Théorème de convergencemonotone 4.1
d-;:;
BepI>o-Levi)
. Soit (fn)nEN une suite de fonctions mesurables positives de (X, A,.u) -t [0, +00], qui converge simplement vers une fonction f en croissant {i.e pour tout x E X, tout nE N, . f n (x) ::; fn+ 1(x)). Alors f est mesurable et pour tout A E A,
lim n-+oc j.
fnd.u = {
A
lim fndJ.L lA n-++oo = jA j du,
temm~ "4.2 (L~"mme Fatou) de Soit (fn (X, A, J.L) -t [0, +OOJ))nEN une suite de fonctions alors lim inf fn dJl ::; lim inf fnd.u lx n-++oo n-++oolx
.~~-~
mesurables
positives.
On a
r
r
..~ __ '~~:~.,..~~""
;;,---- --:":;:""'=d:':'iilii';Jâ.,-~"";.··_,,,--.~~
"4.1.3-- Thé~rê~e-convergenceominée de Lebesgue d
Lemme 4.3 Soit 9 : (X, A, J.L) -t fonctions intégrables de (X,
~
une fonction
intégrable
et (fn)nEN une suite
de
A,.u)
-t ~
non nécessairement positives.
1 Si 9 ~-f~ - pou~ tout nE N alors"" . - n 'lx
r
;im i~~i« d~ S lim inf- (fn~~~ n-++oo 2 Si. 9 >
. ~Ji##~.-~~,t
t: pour n
tout nE N, alors limsup I; dJ.L n-++oo x· iliSiêii;21.1é'§i;eWi§i =
':"",
1 si 0 E supp(tp).
•••••• C. ,."":..,,,,,,,,,, -,
=
l
b
j'(x)cp(x) dx.
(9.7)
Comme cp appartient à V(]a, b[), son support est contenu dans un intervalle fermé b[; l'intégrale dans (9.7) est restreinte à cet intervalle, et, comme ip est continument dérivable sur [a, ,8], on peut intégrer par parties et écrire
[a,
,8JCJa,
< I',» >= [J(x)cp(x)J!
-1(3
J(x)cp/(x)dx.
Mais cp(a) = cp(,8) = 0, et cp' E V(]a, b[) avec supp(cp') C [a, ,8], de sorte que
< J',
sp
>=
-l
b
f(x)cp/(x) dx = - < J, cp' >
(9.8)
9.2.2
Généralisation
La formule (9.8) suggère de définir la dérivée d'une distribution T quelconque par VcpE V(]a, b[),
< T', ip >= - < T, cp' > .
(9.9)
Théorème 9.6 La relation (9.9) définit une distribution appelée dérivée de la distribution T. Cette définition coïncide avec la