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CPGE PCSI/MPSI

Ann´e 2 010-2 011 e Fiche technique

D´veloppements limit´s usuels e e

D´veloppements limit´s au voisinage de 0 ` connaˆ e e a ıtre : ex = 1 + x + ch(x) = 1 + sh(x) = x + th(x)= x − cos(x) = 1 − sin(x) = x − tan(x) = x +
x2 2!

+

x3 3!

+ ··· +

xn n!

+ o(xn ) =

x2 2! x3 3! x3 3 x2 2! x3 3!

+ + +

x4 4! x5 5!

+ ··· + + ··· +

x2n (2n)!

+o(x2n+1 ) =

￿n

1 i i=0 i! x

+ o(xn ) + o(x2n+1 ) ou o(x2n ) + o(x2n+2 ) ou o(x2n+1 )

x2n+1 (2n+1)!

+ o(x2n+2 ) =

￿n

1 2i i=0 (2i)! x

2x5 15 x4 4! x5 5!

+ o(x5 )
2n

￿n

12i+1 i=0 (2i+1)! x

+ + +
x2 2

x − · · · + (−1)n (2n)! + o(x2n+1 ) =
2n+1

x − · · · + (−1)n (2n+1)! + o(x2n+2 ) =

￿n

(−1)i 2i i=0 (2i)! x

+ o(x2n+1 ) ou o(x2n ) + o(x2n+2 ) ou o(x2n+1)

x3 3

2x5 15

+

17x7 315

+ ··· +

B2n (−4)n (1−4n ) 2n−1 x (2n)!
n+1

￿n

(−1)i 2i+1 i=0 (2i+1)! x

+ o(x2n ) o` les Bn sont les nombres de Bernoulli u
i=1 (−1)i+1 i x iln(1 + x) = x −

+

x3 3

n+1 − · · · + (−1)n x )= n+1 + o(x

ln(1 − x) = −x − Pour α ∈ R∗ , (1 + x) =
α

x2 2



x3 3

− ··· −

xn+1 n+1

+ o(xn+1 )

￿n

+ o(xn )

1 + +α(α−1) x2 + α(α−1)(α−2) x3 + · · · + α(α−1)(α−2)...(α−n+1) xn + o(xn ) 2! 3! n!

= (1 + x) = 1 +
α

o(xn )
1 1−x 1 1+x

￿n

1 i=0 i!

￿

j=0

i−1 ￿

(α − j) xi +

￿

= 1 + x + x2 + x3 +· · · + xn + o(xn ) = 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)n xn + o(xn )

Autres d´veloppements limit´s au voisinage de 0 utiles : e e Arcsin(x) = x + Arccos(x) =
π 2 x3 2·3

+

1·3·x5 2·4·5

+ ···+

1·3·5···(2n−1)x2n+1 2·4·6···(2n)·(2n+1)

+ o(x2n+2 ) + o(x2n+2 )

−x−
x3 3

x3 2·3 x5 5



1·3·x5 2·4·5

− ··· −

1·3·5···(2n−1)x2n+1 2·4·6···(2n)·(2n+1)
2n+1

Arctan(x) = x −Argsh(x) = x − Argth(x) = x +

+

2n+2 − · · · + (−1)n x ) 2n+1 + o(x
2n+1

x3 2·3 x3 3

2n+2 − · · · + (−1)n 1·3·5···(2n−1)x ) 2·4·6···(2n)·(2n+1) + o(x

+ ··· +

x2n+1 2n+1

+...
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