Formulaire dl
458 mots
2 pages
CPGE PCSI/MPSIAnn´e 2 010-2 011 e Fiche technique
D´veloppements limit´s usuels e e
D´veloppements limit´s au voisinage de 0 ` connaˆ e e a ıtre : ex = 1 + x + ch(x) = 1 + sh(x) = x + th(x) = x − cos(x) = 1 − sin(x) = x − tan(x) = x + x2 2!
+
x3 3!
+ ··· +
xn n!
+ o(xn ) =
x2 2! x3 3! x3 3 x2 2! x3 3!
+ + +
x4 4! x5 5!
+ ··· + + ··· +
x2n (2n)!
+ o(x2n+1 ) =
n
1 i i=0 i! x
+ o(xn ) + o(x2n+1 ) ou o(x2n ) + o(x2n+2 ) ou o(x2n+1 )
x2n+1 (2n+1)!
+ o(x2n+2 ) =
n
1 2i i=0 (2i)! x
2x5 15 x4 4! x5 5!
+ o(x5 )
2n
n
1 2i+1 i=0 (2i+1)! x
+ + + x2 2
x − · · · + (−1)n (2n)! + o(x2n+1 ) =
2n+1
x − · · · + (−1)n (2n+1)! + o(x2n+2 ) =
n
(−1)i 2i i=0 (2i)! x
+ o(x2n+1 ) ou o(x2n ) + o(x2n+2 ) ou o(x2n+1 )
x3 3
2x5 15
+
17x7 315
+ ··· +
B2n (−4)n (1−4n ) 2n−1 x (2n)! n+1 n
(−1)i 2i+1 i=0 (2i+1)! x
+ o(x2n ) o` les Bn sont les nombres de Bernoulli u i=1 (−1)i+1 i x i
ln(1 + x) = x −
+
x3 3
n+1 − · · · + (−1)n x )= n+1 + o(x
ln(1 − x) = −x − Pour α ∈ R∗ , (1 + x) = α x2 2
−
x3 3
− ··· −
xn+1 n+1
+ o(xn+1 )
n
+ o(xn )
1 + + α(α−1) x2 + α(α−1)(α−2) x3 + · · · + α(α−1)(α−2)...(α−n+1) xn + o(xn ) 2! 3! n!
= (1 + x) = 1 + α o(xn )
1 1−x 1 1+x
n
1 i=0 i!
j=0
i−1
(α − j) xi +
= 1 + x + x2 + x3 + · · · + xn + o(xn ) = 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)n xn + o(xn )
Autres d´veloppements limit´s au voisinage de 0 utiles : e e Arcsin(x) = x + Arccos(x) = π 2 x3 2·3
+
1·3·x5 2·4·5
+ ··· +
1·3·5···(2n−1)x2n+1 2·4·6···(2n)·(2n+1)
+ o(x2n+2 ) + o(x2n+2 )
−x− x3 3
x3 2·3 x5 5
−
1·3·x5 2·4·5
− ··· −
1·3·5···(2n−1)x2n+1 2·4·6···(2n)·(2n+1)
2n+1
Arctan(x) = x − Argsh(x) = x − Argth(x) = x +
+
2n+2 − · · · + (−1)n x ) 2n+1 + o(x
2n+1
x3 2·3 x3 3
2n+2 − · · · + (−1)n 1·3·5···(2n−1)x ) 2·4·6···(2n)·(2n+1) + o(x
+ ··· +
x2n+1 2n+1
+