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FORMULAIRE
NOMBRES COMPLEXES, GEOMETRIE

A. Nombres complexes
Dans Ie repere orthonormal affixe z. (0 ; D, iT) Ie point M(x ; y) , ou (x; y) E 1R2, a pour

Z a pour forme

algebrique

x + iy .

Partie reel Ie de z: Partie imaginaire Conjugue

Re (z) =x de z : 1m (z) =

y

de z : z = x - iy

Module de z

I zl

=

Jll= Jx2

+ y2
: z = p( cos 6 + i sin 6) : z = peiS

Si

Z;to

0 , trigonometrique Izl=p arg z=6 [2
'IT]

z a pourforme Moduledez: Argumentdez: Conjugue

z a pour forme exponentielle

de z : z = pe- is des modules

• Proprietes PourtoutzE PourtoutzE

C, Izl=lzl C*, I~I=I:I

Pour tous z E C et z' E C,

I zz' I = I z II z' I AS a pour affixe ZB - Z A et

Si A et B ont pour affixes respectives zA et ZB alors AB =

IZB-zAI des arguments [2 [2
'IT]

• Proprietes

Pour tous z E C* et z' E C* , arg (zz') = arg (z) + arg (z') arg (?)=arg (z)-arg (z')

'IT]

• Caracterisation Homothetie z'-w=k(z-w)

complexe

de transformations t, t E C : z' = z + t

M(z)

t-7

M'(z')

Translation de vecteur de centre

D

d'affixe

n d'affixe

w, WE C, et de rapport k E IR*

B. Geometrie
• Produit scalaire de deux vecteurs non nuls du plan

B

o
• Produit scalaire et coordonnees Si

~
A B'

IT

et V admettent

pour coordonnees de I'espace alors

respectives (x ; y ; z) et (x' ; y' ; z') dans

un repere orthonormal Une equation

IT. '1= xx' + yy' + zz' coordonnees et

IIVII = JtJ:IT.

de la sphere de centre

n de

(a ; b ; c) et de rayon R

est (x - a) 2 + (y - b) 2 + (z - c) 2 = R 2 .

ALGEBRE, TRIGONOMETRIE

A. Identites remarquables
Pour tous a
E

C, bEe,

(a +b)3 =a3

+ 3a2b+ 3ab2 +b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 _ b3 a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) Pour tous a
E

C, bEe

et pour tout

n

E

N

*,
+ .. + bn

(a + b)n =an + C)an-1b

+ ... + C)an-kbk

B. Equation du second degre